Степенные ряды

Ряд вида (6)

называется степенным рядом.

	0
-R 0		R

Областью сходимости Т ряда (6) называется множество тех значений х, для которых этот ряд сходится: .

Можно показать, что Т является интервалом ] -R, R [,

( 0  R   ), где число R (радиус сходимости (6)) определяется по одной из формул: . (7), (7)

Точки  R (концы “интервала сходимости” ]-R, R[ ) могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству Т.

Задача № 7 Найти интервал сходимости степенного ряда, исследовать сходимость на концах интервала

1. ; 2. .

1. .

Найдем R (например, по формуле (7)): .

Интервал сходимости: ] - a₁₁², a₁₁² [. Исследовать на концах.

Пусть Х = a₁₁².

Тогда рассмотрим ряд: , который расходится (показать самостоятельно).

Пусть Х = -а₁₁².

Рассмотрим ряд: .

Этот ряд условно сходится (показать самостоятельно).

Тогда, окончательно, область сходимости данного ряда - полуинтервал

[-a₁₁²,a₁₁²[.

2. .

Найдем R по формуле (7): (показать самостоятельно).

Интервал сходимости: ] -1, 1 [. Исследование на концах.

Пусть х = 1.

Получится положительный ряд . Он расходится (показать самостоятельно, используя, например, признак сравнения).

Пусть Х = -1.

Получится знакочередующийся ряд , который сходится условно (доказать, используя признак Лейбница).

Итак, окончательно, область сходимости этого ряда - полуинтервал [-1, 1 [.

Пояснение

Номер варианта в задачах 1-8 совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

№ вар.	а11	а12	а13	а21	а22	а23	а31	а32	а33	в1	в2	в3
1	1	1	3	-4	5	6	18	-8	9	5	-6	7
2	2	2	-9	8	-7	6	26	-12	13	8	9	4
3	3	3	5	-6	7	-8	12	-10	6	4	-3	2
4	2	2	10	8	-6	-3	7	5	-7	9	2	4
5	5	5	3	4	-2	6	18	-7	9	2	4	3
6	6	6	1	-7	3	4	6	2	3	1	5	6
7	7	7	-4	5	8	-9	8	6	4	3	1	-8
8	8	8	2	3	4	1	10	3	-5	-6	7	-1
9	9	9	8	1	-1	2	4	-4	2	-2	8	5
0	10	10	7	2	9	-5	4	1	-1	7	2	9