Непрерывные случайные величины (н. С. В.)

Случайная величина называется непрерывной в интервале [а, в], если ее значения заполняют весь интервал.

Функция распределения вероятностей случайной величины

(интегральная функция распределения вероятностей с.в.)

Функцией распределения называют функцию F(x), определяемую так:

F(x) = P(Xx), т.е. функция распределения определяет вероятность того, что с.в.

Х примет значение, меньшее действительного числа х. Функция распределения обладает свойствами:

1. 0  F(x)  1;

2. если х₂ х₁ , то F(х₂)≥ F (x₁);

следствие 1. Р(а Х в) = F(в) - F (а); (11^)

следствие 2. Р(Х = х) = 0;

следствие 3. Справедливы предельные соотношения:

.

Если все значения Х принадлежат интервалу (а, в), то

F(x) = 0 при х ≤ а ; F(x) = 1 при х ≥ в.

Плотность распределения вероятностей случайной величины

(дифференциальная функция распределения вероятностей н. с. в.)

Плотностью вероятности называю первую производную от интегральной функции f(x) = F(x) (12)

Свойства плотности вероятности (плотности распределения):

1. f(x) ≥ 0;

2. , если все значения случайной величины принадлежат интервалу

(а, в), то .

Вероятность того, что случайная величина Х(а, в), вычисляется по формуле

(13)

Х

f(x)

0

График функции f(x) находится выше ОХ. Площадь, ограниченная графиком функции f(x) и осью ОХ, равна единице: S = 1 .

Функцию распределения вероятностей случайной величины F(x) можно найти по формуле:

. (14)

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

1. математическое ожидание непрерывных с.в. вычисляется по формулам

, (15)

если возможные значения случайной величины принадлежат всей оси ОХ.

, (16)

если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, в)

2. дисперсия непрерывной с.в. вычисляется по формуле

(17)

или

, (18)

если все значения случайной величины принадлежат всей оси ОХ.

(19)

или

, (20)

если все значения случайной величины принадлежат интервалу (а, в).

3. Среднее квадратичное отклонение:

[X] = (21)

ЗАДАЧА № 13

Дана интегральная функция распределения

Найти .

1. Р (в + 1/2  Х  в +5) = F(в + 5) - F(в + 1/2) = 1 - ((в + 1/2) - в)² ;

2. f(x) = F(x), отсюда

ЗАДАЧА № 14

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)

с неизвестным параметром А

Найти А, Р .

1) используем свойство: тогда

, отсюда и А / В = 1, т.е. А = в.

2) .

3) при х   / в, f(x) = 0. Значит F(x) = .

При .

При .

Следовательно,

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если в интервале (а, в), которому принадлежат все значения Х, плотность распределения постоянная

(22)

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если плотность распределения имеет вид

, (23)

где а - математическое ожидание;

 - среднее квадратичное отклонение.

Вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (, )

, (24)

где - функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения с.в. от математического ожидания меньше, чем ,

Р([X]) = 2Ф ( / ) . (25)

Если а = 0 , то Р([X] ) - 2 Ф( / ).