Теорема умножения вероятностей

Для независимых событий:

Р(А В) = Р(А) Р(В). (4)

Для зависимых событий

Р(А В) = Р(А) Р(В / А) = Р(В) Р(А / В), (5)

где Р(В / А) - это условная вероятность события В в предложении, что событие А произошло.

События А и В называются независимыми, если

Р(В / А ) = Р(В) и Р(А / В) = Р (А), условные вероятности равны безусловным.

Р(С / А * В) - вероятность события С в предположении, что произошло событие А*В. События А₁, А₂, ... , А_n называются независимыми в совокупности, если каждое из них не зависит от произведения любого количества остальных.

Теоремы (4), (5) обобщаются на любое конечное число сомножителей.

Задача № 9

Для сигнализации от аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна Р₁ для первого сигнализатора, Р₂ и Р₃ - для второго и третьего. Найти вероятность того, что при аварии: а) сработает только один сигнализатор, б) сработает два сигнализатора, в) сработает хотя бы один сигнализатор

а) вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор:

Р = Р₁ (1 -Р₂)(1 - Р₃) + (1 - Р₁)Р₂ (1 - Р₃)+ (1 -Р₁)(1 - Р₂) * Р₃;

б) вероятность того, что при аварии сработает два сигнализатора:

Р = Р₁ Р₂(1 - Р₃) + (1 - Р₁)Р₂* Р₃ + Р₁ (1 - Р₂) * Р₃;

в) вероятность того, что сработает хотя бы один сигнализатор :

Р = 1 - (1 - Р₁) (1 - Р₂) (1 - Р₃).

Формула полной вероятности. Формула байеса

Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий Н₁, Н₂, ... , Н_n , образующим полную группу событий, то вероятность события А определяется по формуле

(7)

где Р ( А / Н_i) - условная вероятность события А в предположении, что событие Н_i произошло. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Условная вероятность события Н_i в предположении, что событие А произошло, определяется по формуле Байеса:

. (8)

Задача № 10

В ящике содержатся N₁ деталей, изготовленных на заводе № 1; N₂ - на заводе № 2; N₃ - на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна Р₁; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны Р₂ и Р₃.

Найти:

а) вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется

отличного качества,

б) извлеченная наудачу деталь оказалась отличного качества.

Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе № 1, № 2, № 3?

а) событие А - извлеченная деталь окажется отличного качества.

ГИПОТЕЗЫ:

- Н₁ - извлеченная деталь изготовлена на заводе № 1:

- вероятность ;

- Н₂ - извлеченная деталь изготовлена на заводе № 2:

- вероятность ;

- Н₃ - извлеченная деталь изготовлена на заводе № 3:

- вероятность .

Вероятность того, что извлеченная деталь окажется отличного качества и принадлежит заводу № 1 Р (А / Н₁) = Р₁, заводу № 2 Р (А / Н₂) = Р₂, заводу № 3 Р (А / Н₃) = Р₃.

Используя формулу полной вероятности, получим

.

б) по формуле Байеса, вероятность того, что извлеченная деталь отличного качества изготовлена :

на заводе № 1:

;

на заводе № 2:

;

на заводе № 3:

.