Метод ортогонального перетворення

Припустимо, що квадратична форма

, (3.5)

визначена в і змінні - координати вектора в ортонормованому базисі . Тоді квадратична форма (3.5) може бути зведена до канонічного вигляду за допомогою переходу до ортонормованого базису, складеного з одиничних власних векторів симетричного лінійного оператора , що відповідає формі (3.5). У цьому базисі матриця оператора буде діагональною:

, де - власні значення, що відповідають векторам базису . Квадратична форма в новому базисі набере вигляду .

Умови знаковизначеності квадратичної форми

Означення. Квадратична форма називається додатно виначеною якщо всі її значення при дійсних значеннях, які одночасно не дорівнюють нулю, додатні.

Приклад.

Квадратична форма є додатно визначеною.

Означення. Квадратична форма називається від’ємно визначеною якщо всі її значення від’ємні, за винятком нульового значення при нульових значеннях змінних.

Означення. Квадратична форма називається невід’ємною, якщо вона не набуває від’ємних значень. Квадратична форма називається недодатною, якщо вона не набуває додатних значень.

Приклад.

Квадратична форма є невід’ємною. Квадратична форма є недодатною.

Означення. Квадратична форма, яка набуває як додатних, так і від’ємних значень, називається невизначеною.

Теорема. Для того щоб квадратична форма була невід’ємною необхідно і достатньо, щоб усі власні числа матриці були невід’ємними.

Теорема (Критерій Сильвестра). Для того щоб квадратична форма була додатно визначеною, необхідно і достатньо, щоб головні мінори матриці були додатними, тобто

…,

Приклад.

Перевіримо знаковизначеність квадратичної форми:

.

Запишемо квадратичну форму у вигляді

.

Знайдемо головні мінори матриці квадратичної форми:

.

Отже, квадратична форма є додатно визначеною.

Приклад.

Знайдемо необхідні та достатні умови для того, щоб функція

мала в точці мінімум.

Позначивши , дістанемо квадратичну форму

.

Для того, щоб квадратична форма мала в точці мінімум, необхідно і достатньо, щоб головні мінори матриці були додатні, тобто .

Означення. Мінор матриці називається діагностичним, якщо діагональ мінора збігається з діагоналлю матриці .

Теорема. Для того, щоб квадратична форма була додатно визначеною, необхідно і достатньо, щоб усі її діагональні мінори були додатніми.

Доведення теореми випливає з того, що будь-який діагональний мінор матриці за рахунок пере позначень змінних можна зробити головним мінором.

Приклад.

З’ясуємо, чи є квадратична форма

додатно визначеною.

Відповідь. Ні, оскільки діагональний мінор, що відповідає змінній , від’ємний.

Приклад.

Дослідимо на визначеність квадратичну форму

.

Знайдемо матрицю квадратичної форми і головні мінори цієї матриці .

Умови критерію Сильвестра не виконано. Квадратична форма є додатно визначеною.

Отже, з вищесказаного можна класифікувати квадратичні форми:

1. визначено-додатною.

2. визначено-від’ємною.

3. знакопостійною-додатною або від’ємною.

4. знакозмінна.