Метод Якобі

Приклад 1. Методом Якобі зведемо до канонічного вигляду квадратичну форму . Коефіцієнти канонічної форми знаходимо з відношень мінорів матриці .

Але в ній . Для можливості застосування методу Якобі змінимо нумерацію координат (нумерацію базисних векторів). Нехай

(*)

В новому базисі квадратична форма буде

(**)

Запишемо матрицю квадратичної форми . Отримаємо відмінні від нуля головні мінори .

За формулою (4) канонічна квадратична форма буде мати вигляд

Канонічний базис будуємо у вигляді (2). Покладемо, що

Базисні вектори в цьому самому базисі мають одиничні координатні рядки, відповідно .

Для знаходження коефіцієнтів відтворюємо полярну білінійну форму з квадратичної форми (**):

(***)

І користуючись умовами (3). З одержимо .

Отже, .

Коефіцієнти шукаємо з умов з яких одержуємо систему рівнянь .

Звідки

Для коефіцієнтів одержуємо систему рівнянь

Звідки

Щоб виразити канонічний базис через початковий базис можна або відновити початкову нумерацію координат за загальним правилом перемножити матриці: .

Отримаємо

або

Приклад 2. Методом Якобі звести до канонічного виду таку квадратичну форму: .

Складаємо матрицю квадратичної форми: . Обчислюємо кутові мінори та визначник А: .

Визначимо канонічні коефіцієнти:

Тоді квадратична форма матиме такий канонічний вигляд:

Визначимо коефіцієнти перетворення базисних векторів:

Трикутне перетворення базису що зводить до канонічного вигляду, запишемо так:

Визначимо нові координати через старі

Запишемо матрицю переходу від старого базису до нового:

Координати вектори у новому базисі знайдуться за допомогою формули:

Перевірка: Перший спосіб

Другий спосіб

Приклад 3. Методом Якобі звести до канонічного виду квадратичну форму: .

Запишемо матрицю заданої квадратичної форми: . Обчислимо кутові мінори матриці А: .

Визначимо канонічні коефіцієнти:

Маємо канонічний вид квадратичної форми: .

Її матриця .

Визначимо коефіцієнти перетворення базисних векторів:

Трикутне перетворення базису що зводить до канонічного вигляду, запишемо так:

Виразимо нові координати через старі

Запишемо матрицю переходу:

, тоді .

Виконавши дії маємо:

.

Розв’язавши систему відносно змінних маємо вираження нових координат через старі:

.

Перевірка: Перший спосіб

Другий спосіб

Метод ортогональних перетворень

Приклад 1. Знайти ортогональне перетворення, яке зводить до канонічного вигляду квадратичну форму:

.

Квадратичної форми має матрицю. Знайдемо власні значення та власні вектори перетворення

Складемо характеристичне рівняння матриці

Власні значення є коефіцієнтами канонічного вигляду її матриця . Побудуємо базис .

Використовуючи означення власного вектора , знаходимо власні вектори, що належать до власного значення .

Загальний розв’язок:

Власні вектори:

Знайдемо власні вектори, що належать власному значенню . Записавши аналогічно відповідну СЛОР знаходимо Застосовуючи процес ортогоналізації до системи власних векторів

Одержимо ортонормовану систему, яка і складає базис в якому квадратична форма має канонічний вигляд.

Отже маємо матрицю перетворення, тобто матрицю переходу від базису до .

Знаючи матрицю переходу запишемо формулу перетворення координат:

Перевірка

І. Спосіб. Підставимо у задану квадратичну форму:

Як бачимо такий метод забирає багато часу на підрахунки. Тому раціональніше застосовувати інші способи.

ІІ. Спосіб.

Приклад 2. Звести дану квадратичну форму до канонічного вигляду методом ортогонального перетворення:

.

Запишемо матрицю квадратичної форми:

Складемо та розв’яжемо характеристичне рівняння

Дана квадратична форма має такий канонічний вигляд:

Її матриця

Знаходимо базис, в якому квадратична форма має канонічний вигляд. Для цього треба знайти власні вектори перетворення. Нехай , тоді записуємо систему рівнянь

фундаментальна система розв’язків, якої і визначає шукані власні вектори.

Підставляючи в задану СЛОР одержуємо:

Загальний розв’язок якої , а ФСР:

	-1	1	0
	-1	0	1

Вектори і є власними векторами перетворення, що належать власному значенню .

Аналогічно підставляючи одержимо СЛОР

Загальний розв’язок якої , а ФСР

Маємо систему з власних векторів

Ортогоналізуємо її.

Нехай - перший вектор ортогональної системи.

Представимо вектор , і з умови знайдемо .

Вектор представимо як . З умови ортогональності векторів і та і знаходимо і .

. Одержуємо . Нормуємо кожен з одержаних векторів і одержуємо ортонормований базис

в якому задана квадратична форма набуває канонічного виду. Отже, матрицею перетворення є матриця . Знаючи, що . маємо

(по рядках)

або (по стовпчиках).

Перевірка:

(по стовпчиках).

Приклад 3. Звести дану квадратичну форму:

до канонічного вигляду методом ортогонального перетворення.

Ортогональне перетворення, що зводить квадратичну форму до канонічного вигляду, знаходиться неоднозначно, тобто неоднозначно будується канонічний базис. Але цей базис повинен бути ортонормованою системою власних векторів перетворення .

Запишемо матрицю квадратичної форми:

Складемо характеристичне рівняння матриці та розв’яжемо його:

- власні значення перетворення.

Канонічний вигляд даної квадратичної форми має вигляд:

, а її матриця в канонічному базисі.

Побудуємо канонічний базис. Для цього знайдемо ортонормовану систему з власних векторів. Якщо , то власний вектор, що йому відповідає . Власному значенню відповідає власний вектор , а значенню - .

Перевіркою переконуємося, що вектори утворюють ортогональну систему, тому процес ортогоналізації застосовувати не будемо.

Про нормуємо отриману систему:

Отже матриця переходу:

Знаючи, що

Одержимо:

(Виразити нові змінні через старі пропонуємо читачеві зробити самостійно)

Перевірка:

Оскільки , тоді

.