Тлумачний словник

Якщо кожному вектору з деякого лінійного простору зіставляється певне число з деякої числової множини, то говорять, що на лінійному просторі задана числова функція векторного аргументу .

Числова функція векторного аргументу, визначена на скінченному лінійному просторі називається лінійною формою, якщо виконується умова

де - будь-які вектори із - будь-які числа.

Нульовою формою називатимемо форму, всі коефіцієнти якої рівні нулю.

Лінійний простір, векторами якого є лінійні форми , задані на просторі , називається простором зв’язним до .

Якщо простори і розглядаються одночасно, то вектори з називаються контрваріантними, а вектори з - коварінтними.

Числова функція векторного аргументу називається зв’язно-лінійною формою, якщо виконуэться умова , де і - комплексні числа, спряжені числам і .

Числова функція від двох векторних аргументів в лінійному просторі називається білінійною функцією або білінійною формою, якщо вона є лінійною функцією від при кожному фіксованому значенні і лінійною функцією від при кожному фіксованому значенні .

Іншими словами є білінійною формою від до , якщо для будь-якого і задовольняються рівності:

лінійність по першому аргументу;

лінійність по другому аргументу;

Білінійні форми, задані в нескінченних просторах, називають білінійними функціоналами.

Білінійна форма називається симетричною, якщо для будь-яких векторів і .

Матрицю, співпадаючу транспонованою матрицею, ми називатимемо надалі симетричною.

Білінійна форма в комплексному просторі називається ермітовою, якщо виконується умова .

Матриця називається ермітовою, якщо її елементи підкоряються умові .

Білінійна форма називається симетричною, якщо виконується умова

Квадратна матриця називається симетричною, якщо , тобто вона збігається з транспонованою. Це означає, що для всіх її елементів виконується рівність .

Полярною квадратичною формою , називається білінійна форма , змінних .

Квадратична форма називається канонічною, якщо її матриця діагональна.

Квадратичною формою від змінних називається однорідний многочлен другого степеня відносно цих змінних: ,

або в розгорнутому вигляді

.

Симетрична матриця, складена з коефіцієнтів квадратичної форми називається матрицею квадратичної форми.

Квадратична форма називається додатно визначеною якщо всі її значення при дійсних значеннях, які одночасно не дорівнюють нулю, додатні.

Квадратична форма називається від’ємно визначеною якщо всі її значення від’ємні, за винятком нульового значення при нульових значеннях змінних.

Квадратична форма називається невід’ємною, якщо якщо вона не набуває від’ємних значень.

Квадратична форма називається недодатною, якщо якщо вона не набуває додатних значень.

Квадратична форма, яка набуває як додатних, так і від’ємних значень, називається невизначеною.

Критерій Сильвестра. Теорема. Для того щоб квадратична форма була додатно визначеною, необхідно і достатньо, щоб головні мінори матриці були додатними, тобто

Мінор матриці називається діагностичним, якщо діагональ мінора збігається з діагоналлю матриці .

Означення матриці. Якщо виразів розставлених в прямокутній таблиці із строчовк і стобців:

, то говорять про матрицю розміру , вираз називається елементами матриці. Розміщення елемента в таблиці характеризується подвійним індексом; перший індекс означає номер строки, другий – номер стовпця, на перетині, яких стоїть елемент (нумерація строк виконується зверху вниз, а стовпців – зліва направо). Елементи матриці, як правило, являються числа, але іноді і другі математичні об’єкти, наприклад, вектори, многочлени, диференціали навіть матриці.

Матриця позначається наступним чином:

, також або ( ).

Матрицю розміру називається квадратною матрицею порядку n.

Елементи тобто елементи, що стоять в таблиці на діагоналі квадрата, що проходять із лівого верхнього кута в правий нижній, - на головній діагоналі матриці, називається головними діагональними елементами або просто діагональними елементами; елементи , тобто, що стоять на діагоналі, яка проходить із правого верхнього кута в лівий нижній, іноді наззиваються побічними діагональними елементами.

Визначник квадратної матриці. Кожної квадратної матриці порядку n з дійсними або комплексними елементами можна однозначно поставить у відповідність дійсне або комплексне число D,яке називається визначником матриці А: , причому сума повинна біти розповсюджена на всі підстановки набору чисел . Визначник позначається: .

Якщо - визначник порядку n, то мінором елемента називають визначник порядку , що отримується із D закресленням і-ї строчки і k-го стовпця.

Означення рангу матриці. Квадратна матриця називається не виродженою або виродженою в залежності від того, чи відмінний від нуля її визначник чи рівний нулю.

Матриця має ранг , якщо А має не менше однієї виродженої під матриці порядку р, а всі квадратні під матриці А більш високих порядків вироджені. Якщо додатково послати , кожній матриці буде поставлено у відповідність одне невід’ємне ціле число – ранг матриці.

Власні значення і власні вектори матриці. Нехай - матриця. Будь-який вектор , для якого , де - деяке число, називається власним вектором А, а - належить або відповідає йому власним значенням матриці А.

Многочлен називається характеристичним многочленом матриці А, а рівняння - характеристичним рівнянням матриці А; його розв’язком являється власні значення матриці А.

Квадратична форма – однорідний поліном другого степеня .

К. ф. характеризується квадратною матрицею . За допомогою лінійного перетворення змінних х з комплексними коефіцієнтами К. ф. може бути приведена до вигляду: .

Якщо , а лінійні перетворення змінних х розглядаються над полем дійсних чисел, то К.ф. F приводиться до вигляду: , причому незалежно від способу зведенню F до цього вигляду кількість позитивних квадратів S залишається незмінною. При лінійному перетворенні змінних з матрице. С матриця К.ф. преходить в матрицю САС’, де С’ – транспонована матриця до С.

Ортогональними перетвореннями над змінними можна призвести до вигляду: де - дійсні числа, інваріанти К.ф.