4.3. Квадрат түбірлер әдісі.

Мейлі сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін

(1)

мұнда - симметриялық матрица, яғни Онда А матрицасын өзара тасымалданған екі үшбұрышты матрицаның көбейтіндісі түрінде көрсетуге болады

(2)

мұнда

және

T матрицасының элементтерін анықтау үшін, және T матрицаларын көбейтіп төмендегідей теңдеулерді аламыз:

Осы теңдеулерден біртіндеп

(3)

табамыз.

Егер (i=1,2,…,n) болса, жүйенің тек бір ғана шешімі болады, себебі онда

Егер болса, T матрицасының элементтері нақты сан болады. Бұдан былай бұл соңғы шарт орындалған деп болжамаймыз.

(2) теңдіктен (1) теңдеу екі теңдеуге эквивалентті екендігі шығады

и

бұны ашып жазсақ

(4)

және

(5)

Осы жерден біртіндеп

(6)

және

(7)

табамыз.

Сызықтық жүйелерді шешудің бұл әдісі квадрат түбірлер әдісі деп аталады. А матрицасы симметриялы, ал Т жоғарғы үшбұрышты матрица, сондықтан есептеу схемасында тек жоғарғы элементтерді және жазуға болады. Есептеулерде қосындының көмегімен тексеру қолданылады және қосындыны құрғанда сәйкес жолдардың барлық элементтері ескеріледі.

Егер кейбір s-жолы үшін болса, -ге сәйкес элементтер жорымал сан болады. Бұл жағдайда да әдісті формальді түрде қолдануға болады.

Квадрат түбірлер әдісінің түзу жолымен (3) және (6) формуланың көмегімен және (i=1,2,…,n) коэффициенттері біртіндеп есептеледі, ал одан кейін кері жолымен (7) формуланың көмегімен (i=n,n-1,…,1) белгісіздері табылады.

Мысал. Квадрат түбірлер әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін тап

Шешуі. Берілген жүйенің коэффициенттерін және бос мүшелерін кестенің (кесте 1) бастапқы бөліміне А жазамыз, одан кейін жол элементтерінің қосындысын санаймыз. (3) және (6) формуланы қолданып бір жолдан келесі жолға біртіндеп өтіп, коэффициенттерді және жаңа бос мүшелерді есептейміз, осылайша кестенің Б бөлімін толтырамыз. Мысалы,

…,

Бақылау үшін бағана элементтерінің қосындысын санаймыз. (7) формуланы пайдаланып белгісіздерді және тексеру шамаларын тауып, оларды В бөліміне орналастырамыз. Мысалы,

Кесте 1.

Сызықтық теңдеулер жүйесін квадрат түбірлер әдісімен шешу.

							Схема бөлімдері
1 3 -2 0 -2	3 4 -5 1 -3	-2 -5 3 -2 2	0 1 -2 5 3	-2 -3 2 3 4	0,5 5,4 5,0 7,5 3,3	0,5 5,4 1,0 14,5 7,3	А
1	3 2,2361i	-2 -0,4472i 0,8944i	0 -0,4472i 2,0125i 3,0414	-2 -1,3416i 1,5652i 2,2194 0,8221i	0,5 -1,7471i -7,5803i -2,2928 0,1643i	0,5 -1,7471i -3,1081i 2,9679 0,9859i	Б
-6,0978 -5,0973	-2,2016 -1,2017	-6,8011 -5,8004	-0,8996 0,1007	0,1998 1,1992			В