6. Интерполяциялау және экстрополяциялау
6.1. Интерполяциялау есебінің математикалық қойылымы.
[a,b]
кесіндісінде
y=f(x)
функциясы интернациялау терандары деп
аталатын x
,x
,...,x
нүктелеріндегі
мәндерімен y0=f(x0),
y=f(x
),…,y
=f(x
).
xi
нүктелерінде
у
мәндерін
қабылдайтын, яғни у
=F(x
)=f(x
),
y =F(x )=f(x ),…, y =F(x )=f(x ) теңдіктерін қанағаттандыратын F(х) функциясының аналитикалық өрнегін табу керек.Функцияның интерполяциялау тораптарында жатпайтын нүктелеріндегі мәнін есептеуді функцияны интерполяциялау деп атайды. Егер х нүктесі интерполяциялау кесіндісінің [x ,x ] сыртында жатса, онда функцияның осы нүктедегі мәнін табуды экстрополяциялау деп атайды.
Бір айнымалы функцияны y=f(x) интерполяциялаудың геометриялық мағынасы, жазықтықта координаталары (х ,у ),(х ,у ),...,(х ,у ) нүктелері арқылы өтетін қисықты тұрғызу болып табылады. Берілген нүктелер арқылы бірнеше қисықтар жүргізуге болады.
Өзінің n+1 нүктедегі мәндерімен берілген у=f(x) функциясын интерполяциялау үшін, дәрежесі n – нен жоғары емес Fn(x) көпмүшелігін былай етіп алсақ
F (x )=y , F (x )=y ,…,F (xn)=y
бұл есеп бір мәнді болады. Бұл шартты қанағаттындаттыратын F (x) көпмүшелігін интерполяциялаушы көпмүшелік, ал оған сәйкес формуланы – интерполяция формуласы деп атаймыз. Егер F(x) үшін дәрежелік функция алынса, онда интерполяция параболалық деп аталады. Егер интерполяцияланушы функция f(x)- периодты болса, онда F(x) үшін тригонометриялық функциялар алынады. Кейбір жағдайларда рационал функциялар алынады.
Функцияны интерполяциялау кезінде мынадай сұрақтар туындайды:
1) берілген жағдай үшін интерполяциялаушы функцияны тұрғызудың ыңғайлы әдісін таңдау;
2) f(x)-ті F(x)-пен айырбастаудың қателігі;
3) интерполяциялау тораптарын қателік ең аз болатындай етіп алу.
6.2. Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі
[a,b] кесіндісінде интерполяциялау тораптарындағы х ,х ,...,х
өзінің n+1 мәнімен f(x) функйиясы берілсін, яғни y =f(x ), y =f(x ),…, y =(x ) (1)
Интерполяциялау тораптарында х ,х ,...х мәндері берілген функцияның мәндерімен дәл келетін, яғни
L(x )=y , L(x )=y ,…, L(x )=y (2)
көпмүшелігін
табу керек. Бұл жағдайда интерполяциялау
тораптары бір – біріне әртүрлі қашықтықта
орналасуы мүмкін, яғни h=x
-
x
const
(i=0,1,..,n-1).
h-интерполяция
қадамы деп аталады.
L(x) көпмүшелігін мына түрде алайық
L
(x)=a
+a
x+…+a
x
мұнда а -белгісіз коофиценттер, табу керек.
Алғашқы шарт (2) бойынша, интерполяция тораптарында интерполяциялаушы көпмүшеліктің түрі мынадай болады
L
(x
)=a
+a
x
+a
x
+…+a
x
(i=0,1,…,n).
(3)
Бұны n+1 белгісізі а ,а ,...,а бар n+1 теңдеу түрінде жазайық.
a
+a
x
+a
x
+,,,+a
x
=y
,
a
+
a
x
+a
x
+,,,+
а
x
=
y
,
………………………………...,
a
+
a
x
+
a
x
+,,,+
a
x
=
y
.
(4)
Мұнда х және у (і=0,1,..,n) аргумент пен функцияның кестелік мәндері.
Белгісіз коэффициенттер а , Крамер формуласы бойынша анықталады
а
=
жүйенің
анықтауышы.
Егер
болса
жүйенің бір ғана шешімі болады x , х ,..., x .
Коофиценттерді тауып a ,a ,...,a интерполяциялық көпмүшелікті былай жазуға болады
L
(x)=
бұны басқаша былай жазуға болады
L (x)=y Q (x)+y Q (x)+…+ y Q (x). (5)
Q (x) функциясы мына шартты қанағаттандыруы керек
Мұндай көпмүшеліктің түрі мынадай болады
Q
(х)
=
.
(6)
x ,x ,x нүктелерінде Q (х) =0, ал х нүктесінің Q (х )=1.
(5) – формула үшін мынадай өрнек аламыз.
L
(x)=y
+у
+...
+y
(7)
Бұл Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі деп аталады. Қысқаша былай жазуға болады
L
(x)=
(8)
Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігінің қателігі мына формуламен бағаланады
(9)
мұндағы
.
Мысал 1. Төмендегі кестемен берілген функция үшін Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігін тұрғыз.
х |
1 |
2 |
3 |
5 |
у |
1 |
5 |
14 |
81 |
Шешуі. Берілгендерді (7) формулаға қоямыз. Алынған Лагранж көпмүшелігінің дәрежесі үштен жоғары емес, себебі функция өзінің төрт мәнімен берілген
Мысал
2.
y=
функциясына арналған Лагранждың
интерполяциялық формуласының көмегімен
қандай дәлдікпен есептеуге болады, егер
интерполяция тораптары х
х
х
болса?
Шешуі.
Туындыларды табамыз у
,
у
,
у
.
Бұдан
Бағалау формуласын пайдаланып қателікті табамыз
.