8.4. Жәй дифференциалдық теңдеулердің шекаралық есептері

Екі нүктелік шекаралық есептер.Екінші ретті дифференциалдық теңдеу

берілісін

(1)

(1) - теңдеуге арналған екі нүктелік шекаралық есеп былай қойылады: [a,b] кесіндісінде (1) –теңдеуді, ал кесіндінің ұштарында шекаралық шарттарды

(2)

қанағаттандыратын функциясын табу керек.

Дифференциалдық теңдеу және шекаралық шарттар сызықты болса, оны сызықтық шекаралық есеп деп атаймыз. Бұл жағдайда дифференциалдық теңдеу және шекаралық шарттар былай жазылады.

y"+p(x)y'+g(x)y=f(x) (3)

(4)

Бұл жердегі p(x), q(x),f(x)-[a,b] кесіндісінде белгілі үздіксіз функциялар, , , ₀, ₁, A, B-берілген тұрақтылар, және , .

Егер А=В=0 болса, онда шекаралық шарт біртекті деп аталады.

Егер берілен теңдеу (3) (f(x)=0) және шекаралық шарттар (4) (A=B=0) біртекті болса, ондай шекаралық есептерді біртекті деп атаймыз.

8.5. Екінші ретті сызықтық теңдеулер үшін шектік айырымдық әдістер

Мейлі x₀=a, x_n=b, x_i=x₀+ih (i=1,2, ,, n-1)- бірдей қашықтықта

орналасқан тораптар жүйесі болсын және p_i=p(x_i), q_i=q(x_i), f_i=f(x_i).

Есептеу нәтижесінде алынған функцияның у(х) және оның туындыларының y'(x), y"(x) тораптардағы жуық мәнін y_i, y'_i, y"_i деп белгілейміз.

Әрбір торапта туындыларды y'(x_i), y"(x_i) шектік айырымдық қатынастармен алмастырамыз.

, = (5)

ішкі тораптар үшін.

(6)

шекаралық тораптар үшін.

Осы формулаларды пайдаланып, (3) теңдеуді және (4) шекаралық шарттарды жуықтап теңдеулер жүйесімен алмастырамыз

(7)

Сонымен n+1 белгісізі y_0,y₁,…,y_n бар n+1 - теңдеулер жүйесін аламыз. Оны шешіп ізделініп отырған функцияның жуық мәндерінің кестесін аламыз.

Егер туындыларды орталық айырымдық қатынастармен алмастырсақ онда дәлірек формула аламыз.

y y_i"= (8)

онда дәлірек формула аламыз.Ол мынадай жүйе болады

(9)

n - үлкен болғанда (7), (9) теңдеулер жүйесін шешу қиындап кетеді. Бұл жағдайда оларды шешу үшін қуалау әдісін пайдаланады. (3), (4) - есептер үшін шектік айырымдық қатынастардың қателігін былай бағалауға болады.

(10)

y(x_i) – дәл шешімнің мәні егер х=х_і болса.

Мысал. Шектік-айырымдық әдістерді пайдаланып, жәй дифференциалдық теңдеудің

шекаралық есебінің

шешімін дәлдікпен тап; қадам h=0,1.

Шешуі. [2; 2,3] кесіндісін қадамы h=0,1 бөліктерге бөліп (сурет 1), абсциссалары болатын төрт торап аламыз. және шеткі нүктелер, ал қалған екеуі – ішкі.

2,0 2,1 2,2 2,3

Сурет 1.

Берілген теңдеуді ішкі нүктелерде шектік-айырымдық теңдеулермен алмастырамыз

(i=1, 2).

Шекаралық шарттарды пайдаланып шеткі нүктелерде шектік-айырымдық теңдеулер құрамыз:

Берілген есеп мынадай теңдеулер жүйесін шешуге келеді

Теңдеулер жүйесін түрлендіріп, мына түрге келтіреміз

-тің мәнін үшінші теңдеуге қойып, қалған белгісіздерді табу үшін жүйе аламыз

Алынған жүйені шешу үшін «негізгі элементтер» схемасын пайдаланайық

				Еркін мүшелер
-0,00113507 0,526788 -1	-2,9 375,9 0	4 -841 391,6	-1 464,1 -881	0,1 4,2 -1045,66	0,2 3,2 -1535,06
0,00560179 -1	-2,9 375,9	3,55551 -643,7098	- -	1,28690 -546,6411	1,94240 -805,4511
-1	-0,79429	-	-	-1,77527	-2,56957
	2,2350 3,2351	2,1849 3,1849	2,1580 3,1580

Жауабы:

х	у	х	у
2,0 2,1	2,235 2,185	2,2 2,3	2,158 2,150