9. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін шектік

есептерді жуықтап шешу әдістері. Айырымдық схемалар

теориясының негізгі ұғымдары

9.1. Жалпы мәліметтер

Біз жай дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешу әдістерін қарастырдық. Олардың шешімдері тек бір ғана айнымалыға тәуелді функция . Практикада кездесетін көптеген есептерде ізделініп отырған функция бірнеше айнымалыға тәуелді болады, және ондай есептерді жазатын теңдеулерде ізделініп отырған функцияның дербес туындылары болады. Ондай теңдеулерді дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер деп атаймыз.

Тұтас орталар механикасының, физиканың көптеген есептері дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешуге алып келеді. Мұнда ізделініп отырған функция температура, тығыздық, кернеу және тағы басқалар. Олар қарастырылып отырған нүктенің кеңістіктегі координатасына және уақытқа байланысты.Есептің толық математикалық қойылымы дифференциалдық теңдеулермен қатар кейбір қосымша шарттардан тұрады. Егер есептің шешімі шекутеулі облыста ізделінетін болса, онда оның шекарасында, шекаралық шарттар беріледі. Бұндай есептер дербес туындылы теңдеулердің шекаралық есептері деп аталады.

Егер қарастырылып отырған есепте тәуелсіз айнымалылардың біреуі уақыт болса, онда алғашқы кезеңде кейбір шарт беріледі, оны алғашқы шарт деп атайды. Алғашқы шарты бар теңдеудің шешімін табу есебін Коши есебі деп атаймыз. Бұл жағдайда шекаралық шарттар берілмейді, есеп шектелмеген кеңістікте шығарылады. Алғашқы және шекаралық шарттары берілген есептерді стационар емес немесе аралас шекаралық есептер деп атаймыз. Алынған шешімдер уақытқа байланысты өзгеріп отырады.

Егер есептің шешімі бар және ол біреу ғана болса, ол шекаралық және алғашқы шарттар және теңдеудің коэффициенттерімен үздіксіз байланыста болса, оны орынды қойылған есеп деп атаймыз.

Дербес туындылы теңдеулердің түрлері: -толқынтеңдеуі; - жылу өткізгіштік теңдеуі; -Пуассон теңдеуі егер - Лаплас теңдеуі.

9.2. Торлар. Торлық функциялар

Сандық әдістердің ішінде ең көп тарағаны айырымдық әдістер. Олар қарастырылып отырған облыста айырымдық торларды кіргізуге негізделген.

Математикалық есептерді сандық шешуде қандай да бір облыстың ішінде өзгеретін аргументтің барлық мәндері үшін айырымдық шешімді ала алмаймыз.

Сондықтан да осы облыста нүктелердің қандай да бір шектеулі жиынын таңдап, жуық шешімді тек қана осы нүктелерде іздейміз. Нүктелердің мұндай жиыны тор деп, нүктелердің әрқайсысы тор торабы деп аталады.

Тордың тораптарында анықталған функция торлық деп аталады. Сонда аргументтің үзіліссіз өзгеретін облысын тор мен яғни аргументтің дискретті (үзілісті) өзгеретін облысымен алмастырдық.

Басқаша айтқанда, дифференциалдық теңдеу шешімдерінің кеңістігін торлық функциялар кеңістігімен жуықтама жасадық.

Туындылардың мәндері, алғашқы және шекаралық шарттар функциялардың тор тораптарындағы мәнімен өрнектеліп, нәтижесінде алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз, оны айырымдық схемалар деп атаймыз. Осы теңдеулер жүйесін шешіп, торлық функцияның мәнін табамыз, оны ізделініп отырған функцияның жуық мәні деп есептейміз. Айырымдық шешімнің қасиеттері торды таңдауға тәуелді.

Торларға мысалдар келтірейік.

1-ші мысал. Кесіндідегі бірқалыпты тор. болсын кесіндісін N тең бөлікке бөлеміз. - натурал сан (Сурет 1). Көршілес тораптардың ара қашықтығы тордың қадамы деп аталады.

- шеткі (шекаралық), - ішкі тораптары деп аталады.

жиыны да тор. Сонымен .

кесіндісінде үзіліссіз аргументтің функциясының орнына дискретті аргументтің функциясын қарастырамыз. Функцияның мәндері тордың тораптарында есептелінеді, ал функция тордың қадамына тәуелді. - параметр ретінде болады. деп белгілейміз.