Контрольные вопросы по теме 2.

1. Пусть a  А. Следует ли отсюда, что {a} А?

2. В каком случае А АВ?

3. Назовите множество, которое является подмножеством любого множества.

4. Может ли быть множество эквивалентно своему подмножеству?

5. Упростить:

   • (AB) È (AB).

   • (AÈB) È(AÈB)

   •  ( È ).

   • (A  С )\ (С  (A ÈB))

6. Является ли множество А = {1, 2, 3} подмножеством множества В = {{1}, {2, 3}}?

7. Найти все подмножества множества A= {x, y, z}.

8. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для заданного множества

   • (А \ В)  С

   • (А \ В) È С

   • ( È ) \ (A È B).

   • (A  B) È (C \ (A È B)).

   • С

   • А  (В È ).

   • \ .

9. Найти все подмножества множества A= {1, 2, 3, 4).

10. Придумать пример множеств А, В, С, так, чтобы выполнялось равенство: А È В = С, причем А – конечное множество, В и С – счетные множества.

11. Пусть A – множество целых чисел, а B – множество четных чисел. Какие из следующих отношений справедливы: а) A =B; б) A ~ B; в) A É B; г) A Ê B; д) A Ë B.

12. Придумать пример множеств А, В, С, так, чтобы выполнялось равенство: А È В = С, причем А, В, и С – счетные множества.

13. Пусть A – множество точек отрезка [0, 1], а B – множество всех точек числовой оси. Какие из следующих отношений справедливы: а) A =B; б) A ~ B; в) A É B; г) A Ê B; д) A Ë B.

14. Пусть A – множество решений уравнения x² – 3x + 2 = 0. Записать это множество двумя различными способами.

15. Привести примеры множеств А, В и С , для которых одновременно выполняются равенства А È В È С = А и А  В  С = С.

16. Привести примеры множеств А и В, для которых равенство È В =

а) выполняется; б) не выполняется.

17. Привести примеры множеств А, В и С так, чтобы A Ì B, В Ì С.

18. Можно ли утверждать, что множество всех положительных пятизначных чисел счетно? Ответ обосновать.

19. Можно ли утверждать, что множество всех положительных чисел имеет меньшую мощность, чем множество всех действительных чисел? Ответ обосновать.

Тема 3. Отношения. Функции.

1. Основные понятия и определения

С понятием отношения между объектами мы встречаемся повсюду, как в математике, так и в жизни. Не давая пока точных определений, рассмотрим некоторые примеры отношений.

1) Пусть X — множество всех людей, а Y — множество всех городов нашей страны в данный момент и пусть xX и yY. Тогда можно поставить вопрос: в каком отношении нахъодится х к у? В зависимости от того, кто такой х и что за город у, ответы могут быть разными: «х живет в y», «x родился в у», «х работает в у», «х учится в у» и т. д. Каждый из этих ответов представляет собой двухместный, предикат, определенный на декартовом произведении XY и задает вполне определенное отношение между отдельными элементами данных множеств. Очевидно, что совокупность всех пар (х; у), для которых истинно, например, утверждение «х живет в у», представляет собой подмножество декартова произведения XY и в то же время является областью истинности предиката «х живет в у».

2) Можно говорить и об отношениях между элементами одного и того же множества. Пусть, например, X — множество прямых на плоскости и пусть a, bХ. Тогда можно ввести такие отношения между а и b: «а параллельно b», «а пересекает b», «а перпендикулярно b» и т. д. При этом, очевидно, что

{(а; b) / а || b}  X², {(а; b) / а b}  X² и т . д .

Пусть теперь X и Y — два произвольных множества. Тогда отношение между элементами х и у (xX и yY) принято обозначать буквами R, S, T, f, p, g и т. д. При этом записи xRy (xTy, xfy и т. д.) означают, что «элемент х находится в отношении R (T, f, g и т. д.) к элементу у».

Пусть R — произвольное отношение между элементами множеств X и Y. Тогда множество всех пар (х; у)  XY, для которых предикат xRy превращается в истинное высказывание, будем называть графиком отношения R и обозначать _R. Таким образом

_R = {(x;y)  XY / xRy} (2)

Из равенства (1) видно, что _R  XY и что _R — область истинности двухместного предиката xRy.

Из рассмотренных примеров следует, что каждое отношение R между двумя объектами xX и yY связано с тремя множествами: X, Y и _R, где _R  XY. Поэтому можно сформулировать следующее определение отношения между двумя множествами:

Отношением (или соответствием) между двумя множествами X и Y называется тройка множеств (X, У, ), где Г — некоторое подмножество декартова произведения XY, т. е. R: =(Х; У; Г), где Г XY.

При этом принято говорить, что X — область отправления отношения R, Y — область прибытия отношения R, Г — график отношения R. Совокупность первых (вторых) компонент пар (x;y) _R называют областью определения (множеством значений) отношения R и обозначают D_R (E_R). То есть:

D_R={xX / yY  xRy};

E_R={yY / xX  xRy}.

Ясно, что D_RX, E_RY.

Из равенства (1) имеем, что (x;y) _RxRy.

Если задано отношение R = (X; Y; Г) и если (x;y) _R (или xRy), то говорят, что отношение R элементу х ставит в соответствие элемент у, или что элементу х соответствует элемент у в силу отношения R.

Если (x₀, y₀) _R, то элементу x₀ может соответствовать не только элемент y₀, но и некоторые другие элементы из Y. Совокупность всех элементов y Y, для которых (x₀, y) _R называют полным образом элемента x₀ при отношении R и обозначают R(х₀). Таким образом,  x₀X R(х₀)Y и y₀  R(х₀) x₀Ry(x₀, y) _R, то есть R(х₀)={yY/(x₀, y) _R}.

Примеры.

1. Пусть X = {10; 20; 30; 40}, Y = {2; 3; 4} и пусть отношение R между этими множествами задано в виде: «x делится на у», где хХ, yY. Тогда имеем:

Г_R = {(10; 2); (20; 2); (30; 2); (40; 2); (20; 4); (40; 4); (30; 3)};

D_R = X; E_R = Y; R (10) = {2}; R (20) = {2; 4}; R (30) = {2;3}; R(40) = {2; 4}.

2. Для тех же множеств, что и в примере 1 зададим такое отношение S: «при делении х на у в остатке получается 2». Тогда _S ={(20;3); (10;4); (30; 4)}, D_S = {10; 20; 30}X; E_S = {3; 4}Y; S (20) = {3}; S (10) = (4}; S (30) = {4}, S (40) = .

Пусть задано отношение R = (X; Y; Г_R)_.между множествами X и Y. Тогда отношение R^-1 = (Y; X; Г_R) между множествами Y и X называется обратным к отношению R, если

,

а отношение противоположным отношению R, если .

Из данного определения видно, что .