Задания для самостоятельной работы по теме 1.

Задание 1. Построить таблицу истинности для заданной формулы. Определить для каждого высказывания, будет ли оно логически истинным, противоречивым или ни тем ни другим.

	Ф=A(BA)		Ф=(AB)(BA)
	Ф=ABC		Ф=(A(BC))B
	Ф=C(A(BA))		Ф=((AB)C)(CB)
	Ф=(AB)C		Ф=(CB)A)(CB)
	Ф=C((AB)C)		Ф=((AB)(BC))((CB)(AC))
	Ф=((AB)(AB))C		Ф=
	Ф= (XY) (XY)		Ф=
	Ф=(XY)(YX)		Ф=(XY)  (YZ) 

Задание 2. Определить, является ли заданная формула тождественно истинной.

	Ф=(PQ)(QP);		Ф=(PQ)P
	Ф=P(Q(PQ));		Ф=P(PQ)
	Ф= ;		Ф=

Задание 3. Доказать равносильность заданных логических формул (двумя способами: с помощью таблицы истинности и используя основные законы логических операций).

	=
	=A
	=
	=A

Задание 4. Применяя равносильные преобразования, упростить формулы.

Задание 5. Определить, являются ли приведенные ниже формулы тождественно-истинными? Проверку выполнить двумя способами: построив таблицу истинности и упростив выражения.

Задание 6. Пусть X означает: «Я сдам этот экзамен»; а Y: «Я буду регулярно выполнять домашние задания». Запишите в символической форме следующие высказывания:

(а) «Я сдам этот экзамен только в том случае, если буду регулярно выполнять домашние задания».

б) «Регулярное выполнение домашних заданий является необходимым условием для того, что я сдам этот экзамен».

(в) «Сдача этого экзамена является достаточным условием того, что я регулярно выполнял домашние задания».

(г) «Я сдам этот экзамен в том и только в том случае, если я буду регулярно выполнять домашние задания».

(д) «Регулярное выполнение домашних заданий есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы я сдал этот экзамен».

Выясните, какому из перечисленных высказываний соответствуют следующие символические формы: ХY; Y X; YX.

Задание 7. Решить задачу, составив логическую формулу.

1. В одном королевстве были незамужние принцессы, голодные тигры и приговоренный к казни узник. Всякому узнику, осужденному на смерть, король давал последний шанс. Узнику предлагалось угадать, в какой из двух комнат находится тигр, а в какой принцесса. Хотя вполне могло быть, что король в обеих комнатах разместил принцесс или тигров. Выбор надо было сделать на основании табличек на дверях комнаты. Известно, что утверждения на табличках были либо оба истинными, либо оба ложными. Надписи гласили:

1 комната	2 комната
По крайней мере, в одной из этих комнат находится принцесса	Тигр сидит в первой комнате

Какую дверь должен выбрать узник?

2. На соревнованиях по легкой атлетике Андрей, Борис, Сергей и Володя заняли первые четыре места. Но когда однокурсницы стали вспоминать, как эти места распределились между победителями, то мнения разошлись. Даша сказала: «Андрей был первым, а Володя – вторым». Галя утверждала: «Андрей был вторым, а Борис – третьим». Лена считала: «Борис был четвертым, а Сергей – вторым». Ася, которая была судьей на этих соревнованиях и хорошо помнила, как распределились места, сказала, что каждая из девушек сделала одно правильное и одно неправильное заявление. Кто из студентов занял первое, второе и третье место?

3. Студент делает следующие высказывания: А. Если я люблю физику, то люблю и математический анализ. Б. Если высказывание A истинно, то я люблю физику. Следует ли из этих высказываний, что студент любит физику?

4. Юра условился с родителями, что всегда будет говорить им только правду. Однажды он получил 2 по физике и очень не хотел говорить об этом дома. На прямой вопрос, что он получил по физике, Юра ответил… Что же ответил Юра так, чтобы не сказать о двойке, и в то же время сказать совершеннейшую истину?

Задание 8. Преобразовать формулы так, чтобы они содержали только операции конъюнкции и отрицания:

Задание 9. Преобразовать формулы так, чтобы они содержали только операции дизъюнкции и отрицания.

Задание 10. Какие из следующих предложений являются предикатами?

x делится на 3 ;	x делится на 5 ;

Задание 10. На множестве натуральных чисел заданы два предиката:

P(x) – «число 3 делитель x»;

Q(x) – «x6».

Найдите множества истинности следующих предикатов:

1.		3.
2.		4.

Задание 11. Предикат P(x): «x есть рациональное число»; предикат Q(x): «x есть действительное число»; предикат T(x): « x меньше y». Запишите следующие утверждения, используя кванторы:

1. каждое рациональное число есть действительное число;

2. существует число, которое является простым;

3. для каждого числа x существует такое число y, что x меньше y.

Задание 12. Определить, для каких натуральных значений переменных x₁, x₂ заданный предикат принимает значение истина:

Задание 13. Составить предикат для натуральных чисел, выразив его с помощью арифметических отношений и логических связок, который принимает значение истина тогда и только тогда, когда:

1. x₁ в два раза больше x₂;

2. если x₁>0, то для всех x₃< x₂ найдутся такие x₄, что x₄+1 x₁;

3. для всех x₁ и x₂, если x₁x₂ и x₂<x₃, то x₁<x₃;

4. для всех x₁ и x₂, если x₁x₂ и x₂x₁, то x₁=x₂;

5. для всех x₁ и x₂, если неверно, что x₁<x₂ или x₃<x₂, то x₁x₂ и x₃x₂.

Задание 14. Ввести необходимые предикаты и с помощью кванторов записать следующие определения, с помощью законов де Моргана получить их отрицания:

1. определение предела числовой последовательности;

2. определение фундаментальной по Коши последовательности;

3. определение предела функции в точке;

4. определение непрерывности функции в точке;

5. определение непрерывной на интервале функции;

6. определение равномерно непрерывной на интервале функции.