Тема 1. Логические высказывания и предикаты.

1. Понятие высказывания. Логические операции над высказываниями.

Понятие высказывания является одним из первичных, неопределяемых понятий в математике. Определенное представление о смысле этого понятия дает следующее его описание.

Высказывание – это повествовательное языковое предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Отличительной особенность высказываний является возможность принимать одно из двух значений: 1 – истина, 0 – ложь. Эти значения называются истинностными значениями.

Высказывания могут быть простыми и составными. Если в высказывании А нельзя выделить некоторую часть, которая сама является высказыванием и не совпадает по смыслу с высказыванием А, то А называется простым высказыванием. В противном случае высказывание А называется составным.

Составные высказывания получаются из простых при помощи логических операций или логических связок – отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции.

Отрицанием высказывания А называется высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание А ложно.

Конъюнкцией двух высказываний А и B называется высказывание АB, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и B. При записи соотношений логики высказываний знак конъюнкции иногда опускают, то есть вместо записи АB используют запись АВ.

Дизъюнкцией двух высказываний А и B называется высказывание АB, ложное тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и B.

Импликацией двух высказываний А и B называется высказывание А→B, ложное тогда и только тогда, когда А истинно, а B ложно.

Эквиваленцией двух высказываний А и B называется высказывание А B, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания А и B одновременно истинны или ложны.

В таблице 1 приведены языковые связки, соответствующие логическим при построении сложных высказываний.

Таблица 1

Основные логические связки.

Связки	Обозначения	Название соответствующих операций
нет; не; неверно; …		отрицание
и; а; но; …	, 	конъюнкция
или; либо; …		дизъюнкция
следует; влечет; если …, то …; тогда; вытекает; …		импликация
эквивалентно; равносильно; тогда и только тогда; в том и только в том случае; …	. 	эквиваленция

Кроме приведенных определений, логические операции над высказываниями можно определить с помощью таблиц истинности (табл. 2). В левой части таблицы перечисляются все наборы переменных (их всего 2ⁿ, где n – количество высказывательных переменных в формуле), а в правой части – соответствующие значения формулы.

Таблица 2.

Таблица истинности основных логических операций.

Исходные высказывания		отрицание	конъюнкция	дизъюнкция	импликация	эквиваленция
А	В		АB	АB	А→B	А B
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1