Практическая работа по теме 1.

Задание 1. Построить таблицу истинности для заданной формулы. Определить, будет ли она логически истинной, противоречивой или ни тем ни другим.

Решение. Для построения таблицы истинности логической формулы необходимо выписать все ее логические возможности и определить значение формулы при заданных значениях переменных. Будем использовать определения основных логических операций.

Таблица 4

X	Y
0	0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0	0

Из таблицы 4 видно, что заданная формула не является ни тождественно истинной, ни тождественно ложной.

Задание 2. Проверить равносильность выражений (xy)(zy) и (xz)y двумя способами: построив таблицу истинности и упростив выражения.

Решение. а)Построим таблицы истинности для заданных формул.

Таблица 5

x	y	z	xy	zy	(xy) (zy)	xz	(xz)y
0	0	0	1	1	1	0	1
0	0	1	1	0	0	1	0
0	1	0	1	1	1	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	1	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Из таблицы 5 видно, что для функций (xy) (zy) и (xz)y значения на всех наборах переменных совпадают.

б) Преобразуем (xy)  (zy):

Задание 3. Во время археологической практики Алексей, Борис и Григорий нашли в земле сосуд. Рассматривая находку, каждый высказал по два предположения:

Алексей: «Это греческий сосуд, изготовленный в V веке».

Борис: «Это финикийский сосуд, изготовленный в III веке».

Григорий: «Это не греческий сосуд, изготовленный в IV веке».

Руководитель практики сказал студентам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Решение. Примем следующие обозначения для высказываний студентов:

Г – «это греческий сосуд»;

Ф – «это финикийский сосуд»;

Т – «сосуд изготовлен в III веке»;

Ч – «сосуд изготовлен в IV веке»;

П – «сосуд изготовлен в V веке».

Тогда высказывание «Это греческий сосуд, изготовленный в V веке» можно записать так: ГП. Из слов преподавателя следует, что это высказывание ложно (ГП=0). Так как Алексей прав только в чем-то одном, то или Г=1, или П=1. Следовательно, истинным будет высказывание .

Замечание. Для простоты чтения и записи логических формул знак  иногда опускают.

Аналогично, из слов Бориса и преподавателя следует, что , а из слов Григория и преподавателя,  что , то есть . Кроме того, ясно, что сосуд может быть изготовлен только в одном из веков и только в одной из стран. Эти условия можно записать так:

и .

Таким образом, получено пять тождественно истинных высказываний. Если их логически перемножить, то результат должен быть также тождественно истинным высказыванием:

.

Упростим левую часть полученной формулы, выполнив логическое умножение первого и второго сомножителей, а также третьего и четвертого соответственно:

Выполним логическое умножение полученного результата и пятого множителя:

Иначе говоря, То есть, Следовательно, сосуд финикийский и изготовлен в V веке.