Практическое занятие № 5 Обработка результатов измерений

Цель: освоить обработку значений многократных равноточных измерений, научится находить результаты многократного и косвенного измерений.

Задание:

1. Изучить теоретическую часть и ответить на контрольные вопросы.

2. Провести обработку значений многократно измеренной величины и получить результат её измерения, найти интервал возможных значений результата косвенного измерения.

Теоретическая часть

Многократные измерения

Многократное измерение одной и той же величины постоянного размера производится при повышенных требованиях к точности измерений. Такие измерения характерны для профессиональной метрологической деятельности и при выполнении точных научных экспериментов.

Результатом многократного измерения величины X является интервал её возможных значений - , где – среднее значение многократно измеренной величины, – случайная погрешность измерения.

Многократное измерение начинается с тщательного анализа предварительной информации. В ходе этого анализа уясняется физическая сущность изучаемого явления, уточняется его модель, определяются влияющие факторы и меры, направленные на уменьшение их влияния (например, компенсация электрических и магнитных полей), значения поправок. Также принимается решение в пользу той или иной методики измерения, выбирается средство измерений, изучаются его метрологические характеристики и опыт выполнения подобных измерений в прошлом. Важным итогом этой работы должна стать твёрдая уверенность в том, что необходимая точность достигнута и она достаточна. Если это условие выполняется, то после необходимых приготовлений, включающих установку и подготовку к работе средства измерений, исключение или компенсацию влияющих факторов, выполняется получение значений многократно измеряемой величины.

Обработка ряда значений , полученных путём многократного равноточного измерения (т.е. измерений одной и той же величины, выполненных с одинаковой точностью, одним и тем же средством измерения, в одинаковых условиях, одним исследователем) величины выглядит так:

1. Используя полученные данные, по формуле (1) находят среднее значение величины :

(1)

Вычисляют оценку СКО (среднее квадратическое отклонение) среднего значения величины по формуле (2):

(2)

3. При заданной доверительной вероятности P и числе полученных значений n по таблице 1 определяют коэффициент Стьюдента , с помощью которого по формуле (3) находят границы доверительного интервала для случайной погрешности:

(3)

4. Записывают интервал возможных значений измеряемой величины X: или -

Во многих случаях результат многократно измеренной величины не является окончанием измерительного процесса. С помощью этого результата можно получить результат косвенного измерения.

Косвенные измерения

Косвенными называются измерения, при которых искомое значение величины определяется на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например, плотность какого-нибудь объекта можно найти путём измерения его массы и объёма и последующей подстановки этих измерений в формулу

Искомое значение величины находят на основании результатов измерений аргументов связанных с искомой величиной уравнением:

Функция должна быть известна из теории или установлена экспериментально.

Таблица 1 - Значения коэффициента Стьюдента

Число измерений, n	Число степеней свободы, k=n-1	Доверительная вероятность, P
		0,90	0,95	0,99
1	2	3	4	5
2	1	6,31	12,71	63,68
3	2	2,92	4,30	9,93
4	3	2,35	3,18	5,84
5	4	2,13	2,78	4,60
6	5	2,02	2,57	4,06
7	6	1,94	2,45	3,71
8	7	1,90	2,37	3,50
9	8	1,86	2,31	3,36
10	9	1,83	2,26	3,25
11	10	1,81	2,23	3,17
12	11	1,80	2,20	3,11
13	12	1,78	2,18	3,06
14	13	1,77	2,16	3,01
15	14	1,76	2,15	2,98

Сведения о значениях величины могут быть взяты из справочной литературы, технической документации.

При оценивании границ доверительного интервала случайной погрешности обычно принимают вероятность, равную 0,90, 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.

Получение результата косвенного измерения заключается в нахождении предельной погрешности измерения искомой величины (функции). Эту погрешность определяют по формуле (4):

(4)

где

k – число измеряемых аргументов,

- частные производные от функции по аргументу ,

- предельные погрешности измерений соответствующих аргументов.

Далее находят интервал возможных значений искомой величины . Этот интервал и будет являться результатом косвенных измерений.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

по теме

«Обработка результатов измерений»

Самостоятельная работа студентов заключается в изучении дополнительной литературы по вопросам:

- теории суммирования погрешностей;

- формы распределения результатов измерения.

Практическая часть

Задание 1. Изучить теоретическую часть и ответить на вопросы:

1. Где используют многократные измерения?

2. Какую информацию нужно знать, прежде чем выполнять многократные измерения?

3. Что такое равноточные измерения?

4. Нахождение, каких характеристик включает в себя процедура обработки значений многократного измерения.

5. Что является результатом любого измерения?

6. Что такое косвенные измерения?

7. В чём состоит особенность нахождения результата косвенного измерения?

8. Дайте определения следующим понятиям: «измерение», «погрешность», «доверительный интервал».

Задание 2. Провести обработку значений многократно измеренной величины и получить результат её измерения, найти интервал возможных значений результата косвенного измерения. Работа выполняется каждым студентом самостоятельно, в соответствии с вариантом, выданным преподавателем (таблица 2).

Таблица 2 – Варианты заданий

№	Задание
1	2
1	При многократных измерениях ширины a и длины b прямоугольной пластины получены значения в мм: ширина 65, 64, 63, 65, 64, 66, 69, 67, 68; длина 56, 55, 57, 59, 54, 56, 58, 55, 59. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения площади пластины S=ab. Р = 0,90.
2	При многократных измерениях массы m и ускорения a тела получены значения: масса 102,15; 102,2; 101,9; 102,0; 101,95 кг; ускорение 2,55; 2,48; 2,51; 2,53; 2,54 . Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения силы F=ma. Р = 0,99.
3	При многократных измерениях силы тока I и напряжения U получены значения: сила тока 3,44; 3,49; 3,50; 3,46; 3,51 A; напряжение 210,2; 210,1; 210,0; 210,25; 210,3 B. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения сопротивления . Р = 0,95.
4	При многократных измерениях силы тока I и напряжения U получены значения: сила тока 3,44; 3,49; 3,50; 3,46; 3,51 A; напряжение 210,2; 210,1; 210,0; 210,25; 210,3 B. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения сопротивления . Р = 0,95.

Продолжение таблицы 2

5	При многократных измерениях длины пути L и времени t получены значения: длина пути 405,1; 404,9; 405,2; 405,3; 404,95 м; время 49,75; 49,64; 49,71; 49,69; 49,67 с. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения скорости v = L / t. Р = 0,90.
6	При многократных измерениях напряжения U и силы тока I получены значения: напряжение 233,4; 233,3; 233,5; 233,45; 233,35 В; сила тока 7,48; 7,45; 7,39; 7,40; 7,43 А. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения мощности P=UI. Р = 0,99.
7	При многократных измерениях ширины a и длины b прямоугольной пластины получены значения в мм: ширина 32, 35, 33, 36, 34, 32, 37, 38; длина 95, 98, 99, 96, 95, 96, 98, 94. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения площади пластины S=ab. Р = 0,95.
8	При многократных измерениях массы m и ускорения a тела получены значения: масса 72,1; 72,2; 71,9; 72,0; 71,9 кг; ускорение 7,43; 7,41; 7,45; 7,42; 7,39 м/с2. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения силы F=ma. Р = 0,90.
9	При многократных измерениях силы тока I и напряжения U получены значения: сила тока 5,04; 5,03; 5,06; 4,98; 5,01 A; напряжение 225,5; 225,2; 225,4; 224,9; 225,3 B. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения сопротивления . Р = 0,99.
10	При многократных измерениях длины пути L и времени t получены значения: длина пути 100,3; 100,6; 100,5; 100,1; 100,4 м; время 11,85; 11,89; 11,69; 11,77; 11,74 с. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения скорости . Р = 0,95.
11	При многократных измерениях напряжения U и силы тока I получены значения: напряжение 65,8; 65,3; 65,5; 65,75; 65,45 B; сила тока 1,32; 1,39; 1,42; 1,34; 1,38 A. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения мощности P=UI. Р = 0,90.

Пример. При многократных измерениях силы тока I и напряжения U получены значения: сила тока 0,95; 1,15; 1,10; 1,05; 1,20 A; напряжение 110,2; 110,3; 110,1; 109,9; 110,0 B. Найдите интервал возможных значений результата косвенного измерения сопротивления нагрузки . Р = 0,95.

Решение.

Сначала получим результат многократного измерения силы тока I: 0,95; 1,15; 1,10; 1,05; 1,20 A.

1. Найдём среднее значение силы тока по формуле (1). Имеем

2. Вычислим оценку СКО (среднее квадратическое отклонение) среднего значения силы тока по формуле (2). Имеем

Для нахождения суммы удобно составить следующую таблицу:

	0,95	1,15	1,10	1,05	1,20
	-0,14	0,06	0,01	-0,04	0,11
	0,0196	0,0036	0,0001	0,0016	0,0121

Сложив числа, находящиеся в ячейках третьей строчки, получим = 0,037. Теперь подставляя значение суммы в формулу для нахождения и учитывая, что n=5, получим

2. При вероятности P = 0,95 и n = 5 по таблице 1 определяем значение коэффициента Стьюдента: = 2,78. Границы доверительного интервала для случайной погрешности:

0,12 А.

3. Записываем интервал возможных значений измерения силы тока I:

1,09 А 0,12 А или 0,97 А 1,21 А.

Выполнив аналогичные действия, получим результат измерения напряжения U:

110,1 В 0,2 В или 109,9 В 110,3 В.

Теперь найдём результат косвенного измерения сопротивления.

1. Измеряемых аргументов здесь два: U и I. Предельные погрешности измерения напряжения и силы тока равны =0,2 В и 0,12 А соответственно. Среднее значение сопротивления равно

Предельную погрешность измерения сопротивления R вычислим по формуле (4). Получим:

Интервал возможных значений результата косвенного измерения сопротивления будет выглядеть так:

= 101 Ом 12 Ом или 89 Ом 113 Ом.