2 Методика побудови математичних моделей типових об'єктів в нафтовій і газовій промисловості

Сучасні методи синтезу замкнутих систем керування опираються , як правило , на апріорні відомості про динамічні властивості керованих об'єктів (КО) . Математичний опис ЕО служить вихідним матеріалом для аналізу і синтезу всієї замкнутої системи керування . Якщо такий опис невідомий , то теорія не може дати правильної відповіді на питання , які виникають в процесі проектування автоматичної системи керування (АСК) .

Математичну модель КО можна визначити двома способами . Можна або ідентифікувати систему за результатами експерименту , або шукати необхідний математичний опис розрахунковим шляхом , використовуючи загальні фізичні закони , відомості про конструкцію і технологічні параметри обладнання . Кожний із методів має свої переваги і недоліки . Експериментальний спосіб можна реалізувати лише тоді , коли система , що досліджується уже побудована . Якщо експеримент поставлений правильно , то можна одержати необхідну інформацію про поведінку системи , про всі взаємозв'язки і вказати , як динамічні характеристики можуть вплинути на вибір найкращої конструкції.

Фізико – математичний аналіз процесів , які протікають в системі , дає можливість одержати математичну модель навіть в тих випадках , коли система знаходиться ще на стадії проектування .

Недивлячись на те , що точні значення всіх параметрів , які необхідні для аналітичного розрахунку (наприклад , коефіцієнтів теплопередачі , коефіцієнтів гідравлічного опору і т.п. ) часто невідомі , фізико – математичний аналіз дає можливість вибрати певну структуру математичної моделі КО , параметри якого можуть бути додатково уточнені експериментально .

Виходячи із специфіки задач керування будь – який технологічний процес може бути умовно зображений так як це показано на рисунку 1.

Всі вихідні і вхідні параметри КО можна поділити на три групи .

Перша група: керуючі параметри (впливи) , u_k., k= Під керуючими розуміють параметри (впливи) , за допомогою яких можна змінити стан керованого об'єкта у відповідності з метою керування . Керуючими впливами можуть бути матеріальні або енергетичні потоки .

Друга група : збурюючі параметри (впливи) z_j , j= . Це параметри , значення яких випадково змінюються з плином часу . Особливістю цих параметрів є те , що їх часто неможливо виміряти . Це можуть бути різні домішки у вихідній сировині , зміна параметрів навколишнього середовища , зміна властивостей матеріалів , обладнання , його геометричних розмірів і т.п. Перша і друга групи створюють вхідні величини об'єкту .

Третя група : вихідні параметри x_i , i= визначаються режимом процесу і характеризують його стан , який виник в результаті спільних дій вхідних величин z_j і u_k. . З цієї причини вихідні величини ще називають змінними стану. Варто відзначити , що термін "змінні стану" являється більш широким , ніж термін "вихідні величини" . Оскільки , під вихідними величинами розуміють тільки характеристики оптимальної продукції , тоді як параметри стану можуть бути довільні фізичні величини ( і навіть абстрактні ) , наприклад характеристики режиму процесу – температура , витрата , тиск , тощо .

Для зображення сукупності вхідних і вихідних величин часто будемо застосовувати векторну форму запису :

Тоді в загальному випадку математична модель технологічного процесу буде подана системою диференціальних рівнянь :

, (2.1)

початковими умовами x₁(t₀)=x₁⁽⁰⁾ , x₂(t₀)=x₂⁽⁰⁾ ,…,x_n (t₀)=x_n⁽⁰⁾ або x (t₀)=x⁽⁰⁾ .

В залежності від ступеня впливу вектора випадкової дії Z на вектор стану X моделі ділять на стохастичні і детерміновані . Якщо вплив Z на процес незначний і його можна не приймати до уваги , то модель називають детермінованою . В противному разі модель буде стохастичною . Змінна t може входити в праві частини системи рівнянь (2.1) як в явномсисисисисисисиному вигляді . В першому випадку модель називають детермінованою , а в другому – автономною .

При математичному описі об'єктів моделювання , основною задачею являється одержання системи диференціальних рівнянь (2.1) . Для розв'язання цієї задачі найбільш часто застосовують по елементний опис об'єкта . Рівняння окремих елементів складають на основі тих фізичних законів, які характеризують роботу того чи іншого елемента . Такими законами можуть бути закони механіки , електротехніки, теплотехніки , гідравліки , тощо . Складаючи диференціальні рівняння окремих елементів системи , бажано якнайточніше відтворити поведінку того чи іншого елемента . Але складність одержаних рівнянь перешкоджає одержанню їх розв'язків та дослідженню властивостей елементів . Тому при складанні диференціальних рівнянь необхідно досягти розумного компромісу між бажаним повним описом поведінки елементу і можливістю одержання розв’язку та можливістю його дослідження .

При математичному моделюванні КО рекомендується певна послідовність дій , яку можна розділити на такі стадії .

Перша стадія – можливо найбільш важлива – це постановка задачі , яка визначає не тільки мету аналізу , але й шляхи розв'язання конкретної задачі .

Друга стадія - визначення фундаментальних законів , яким підкоряються механізми явищ , що лежать в основі проблеми . Теоретичні основи процесів вивчаються , як правило , із різних опублікованих джерел .

Третя стадія – виявлення вхідних і вихідних величин КО і введення позначень для цих величин . З цієї величин слід виявити керуючі впливи , зміною яких можна досягти мети керування . Потім на основі вибраної фізичної моделі стосовно до задачі , яка розв'язується записують систему рівнянь у формі (2.1) . При цьому вивчають можливість спрощення рівнянь шляхом нехтування незначними членами . Відкидаючи їх , треба бути обережним і впевнитись в тому, що відкинутий член незначно впливає на розв'язок відповідного диференціального рівняння .

Четверта стадія – вибирається один із можливих розв'язків системи диференціальних рівнянь (2.1) з метою аналізу моделі .

П'ята стадія – аналіз моделі . Якщо необхідно розв'язати нескладне питання і рівняння досить прості , то відповідь одержують шляхом аналізу моделі , не розв'язуючи систему рівнянь (2.1) . Більш складний рівень аналізу пов'язаний з розв'язком рівнянь (2.1) аналітичними ( якщо це можливо ) або числовими методами .