5.2 Метод матричної передавальної функції

Цей метод дає можливість безпосередньо знайти Х(t) , застосувавши перетворення Лапласа до рівняння (4.4)

(5.11)

У випадку , коли об'єкт описується рівнянням (4.1) , матимемо

Або

(5.12)

(5.13)

Якщо U₁(t) і U₂(t) функції , які задаються рівнянням (5.1) , то

. (5.14)

Зворотне перетворення Лапласа рекомендується обраховувати, використавши теорію лишків . Нехай Х(р) дробово–раціональна функція така, що , а Рі і – ті полюси серед яких є кратні кратності s .

Тоді

де n – кількість полюсів функції Х(р) , включаючи і кратні .

Лишки для простих полюсів знаходимо за формулою

або

де R(p) i Q(p) – відповідно чисельник і знаменник функції Х(р) , Q(p)=dQ(p)/dp .

А для кратних коренів кратності s матимемо :

.

Література

1. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления / Пер.с англ.-М.:Наука,1970-620с.

2. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на язике бейсик для персональних ЕВМ .-М:Наука , 1987-270с.

3. Френкс Р.Математическое моделирование в химической технологии .-М.:Химия , 1971-272с.

4. Пухов Г.Е. ,Хитиашвили И.С. Модели технологических процессов . Киев : Техника ,1974-219с.

5. Вигодский М.Я.Справочник по елементарной математике.-М.:Наука, 1976-335с.

Додаток а

Апроксимація статичної характеристики поліномами Лагранжа

Для опису статичної характеристики застосовують поліноми Лагранжа .

Такий опис можливий лише в тому випадку , коли дані експерименту точно без перешкод відтворюють значення функції в певних точках . Вихідні дані для апроксимації можна отримати й тоді, коли залежність (u) задана графічно . Ці дані називаються – детермінованими статистичними даними .

Власною функцією об’єкта називають таку функцію , яка описує процеси , що протікають в досліджуваному об’єкті (елементі) . Функцією апроксимації називається така функція , яка у відповідності з деяким критерієм заміняє власну функцію .

Степінь наближення моделі до об’єкту визначається критерієм , який використовується для апроксимації власної функції . Поставимо вимогу , щоб в заданих вузлових точках значення власної функції об’єкту і функції апроксимації співпадали . В такому випадку задача інтерполяції формується таким чином . Нехай N – число вузлів інтерполяції , а m=N-1 – степінь інтерполяційного полінома . Необхідно знайти такий поліном , щоб при u=u₁ він приймав значення x₁ , при u=u₂ – значення х₂ і т.д.

Розв’язок поставленої задачі приводить до такого інтерполяційного полінома Лагранжа :

(А.1)

Програма , яка за заданою кількістю вузлів інтерполяції N визначає параметри рівняння інтерполяційного поліному

.

Програма передбачає , що розміщення вузлів може бути довільним або рівномірним . Код програми інтерполяції – INTER .

Приклад. Нехай деякий елемент системи об’єкту описується статичною характеристикою, яка невідома. В результаті проведення експерименту, одержані такі результати (табл. А1 ).

Таблиця А1 – Вихідні параметри

№ досліду	Значення U	Значення X
1	0	1
2	2	13.2
3	4	65.4
4	6	181.6

Приклад вводу початкових даних

Вводимо кількість вузлів інтерполяції N ? 4

Вводимо рівномірний крок дискретності ?: так 1 ; ні 0 ? 1

Вводимо абсцису першого вузла інтерполяції U(1) ? 0

Вводимо приріст абсциси DU ? 2

ВВОДИМО ОРДИНАТИ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИХ ВУЗЛІВ X(I)

Вводимо 1 ординату ? 1

Вводимо 2 ординату ? 13.2

Вводимо 3 ординату ? 65.4

Вводимо 4 ординату ? 181.6

Результат розрахунку коефіцієнтів інтерполяційного

полінома

РІВНЯННЯ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНОГО ПОЛІНОМА

X= 5.0000E-01*U^ 3+ 2.0000E+00*U^ 2 + 9.9997E-02*U^ 1+ 1.0000E+0

ПЕРЕВІРКА

Значення aргумента U(I)	Значення функції
	табличне	розрахункове
0.0000E+00	1.0000E+00	1.0000E+00
2.0000E+00	1.3200E+01	1.3200E+01
4.0000E+00	6.5400E+01	6.5400E+01
6.0000E+00	1.81600E+02	1.81600E+02