Додаток b

Приклад створення і дослідження математичної моделі типового об'єкту

Необхідно скласти і дослідити дві рідини , які поступають двома потоками Q₁ i Q₂ . Ці потоки мають різні температури Т₁ і Т₂ , які не змінюють свого значення з плином часу . Витрати рідини , які поступають в ємність можна регулювати зміною Q₁ i Q₂ .

Ємність має форму циліндра , висота якої L , а діаметр D . Робоче тіло – вода . Всі необхідні дані для розрахунку знаходяться в табл. B.1.

Таблиця B.1 – Вихідні дані

Геометричні розміри , м		Витрата кг/с		Температура 0С		Номінальний рівень , м
L	D	Q1	Q2	T(0)	T1	H(0)
2.0	1.5	5	8	60	10	1.0

B.1 Складання математичної моделі керованого об'єкту .

Мета керування – підтримання постійними температурами і рівня в ємності. У відповідності з метою керування вихідними величинами об'єкту будуть змінні Н і Т .

В основі процесу ідеального перемішування , що вивчається , лежать закони збереження кількості речовини і енергії .

Побудову математичної моделі будемо вести при таких допущеннях :

1) нагрівається ідеальна однофазна рідина (її густина не залежить від температури і тиску) ;

1) потік тепла від джерела до рідини не залежить від температури середовища , що нагрівається ;

2. нехтуємо втратами тепла на тертя і завихрення рідини ;

3. в ємності відбувається ідеальне перемішування рідини так , що температура в ємності дорівнює її температурі на виході ;

4. нехтуємо теплообміном між рідиною і навколишнім середовищем ;

5. тиск Р₁ , а також температура Т₁ – постійні ;

6. поперечний переріз ємності не змінюється з висотою .

Записуємо рівняння матеріального балансу , виходячи з (2.2) :

, (B.1)

де m – маса рідини в ємності ; Q₁ ,Q₂ ,Q₃ - відповідно масові витрати рідини (вхідні вихідні потоки ) .

Оскільки , m = ρ·V , де V = S·H ; ρ – густина рідини ; S – площа поперечного перерізу ємності , то рівняння (B.1) набуде такого вигляду:

.

Витрата Q₃ залежить від гідравлічного тиску стовпа рідини висотою Н :

, (B.2)

де α ₃ – коефіцієнт витрати .

Енергетичний баланс виражається рівнянням (2.13) . Визначимо складові частини цього рівняння :

тепло , яке акумульоване рідиною в ємності ;

тепло , яке поступає в ємність за одиницю часу з потоками :

Q₁-Q₁·C·T₁ ,

Q₂-Q₂·C·T₂ ;

тепло , яке відводиться з потоком Q₃-Q₃·C·T .

Отже ,

або

,

де Q₃ визначається виразом (B.2).

Таким чином , математична модель керованого об'єкту матиме таку форму

, (B.3)

(B.4)

Визначимо числові значення коефіцієнтів , які входять в формули (B.3) і (B.4) .

Для усталеного режиму роботи об'єкту рівняння (B.3) набуде такого вигляду :

. (B.5)

Звідси визначаємо

.

Із рівняння (B.4) знаходимо вираз , який описує тепловий баланс КО в усталеному режимі

(B.6)

Звідси визначаємо