3 Лінеаризація математичної моделі ко

Процес лінеаризації нелінійного рівняння виконується шляхом розкладання нелінійних функцій , що входять в це рівняння в ряд Тейлора . Лінеаризація буде правильно описувати процеси , що відбуваються , якщо відхилення вихідної величини від рівноважного стану буде невеликим . Це означає , що величинами , які мають порядок вище першого , можна знехтувати . Така ситуація має місце в автоматичних системах керування .

Як приклад , розглянемо лінеаризацію рівняння (2.8) , в якому є дві нелінійні функції (Р₁= const)

(3.1)

(3.2)

Тоді

і

де індекс "0" відноситься до усталеного режиму .

Враховуючи значення і , матимемо

Тоді рівняння (2.8) набуде такого лінеаризованого вигляду

Оскільки в усталеному режимі Q₁⁽⁰⁾ – Q₂⁽⁰⁾ , то

де

Таким чином , ми одержали лінеаризований аналог рівняння (2.8) за умови , що відхилення U₁ , H₁ , Н₂ величин U₁ , H₁ , Н₂ від їх значень U₁ , H₁ , Н₂ в усталеному режимі невеликі .

4. Визначення матричних передавальних функцій моделі

Матриця W(P) , елементи передавальної функції W_ij(P) і-го виходу відносно j-го входу , називається матричною передавальною функцією . Матриця W(P) має розмір nm , де n – кількість змінних стану об'єкта , а m – кількість входів .

Матричні передавальні функції в випадку багатозв'язних систем , знайшли широке використання в інженерній практиці , це пояснюється двома причинами . По – перше , матричні передавальні функції дають можливість оперувати з алгебраїчними , а не з диференціальними рівняннями , а по – друге , матрична передавальна функція дозволяє зменшити розмірність задачі .

Нехай КО описується системою лінійних диференціальних рівнянь :

(4.1)

Систему рівнянь (4.1) перетворимо за Лапласом при нульових початкових умовах

(4.2)

Як приклад , визначимо W₁₂(P) . Прирівнюємо до нуля U₁ (p) і одержуємо систему рівнянь :

з якої визначаємо

або

Отже

Аналогічно можуть бути знайдені інші передавальні функції Wij(p) . В результаті можна отримати матричну передавальну функцію ко :

(4.3)

яка повністю характеризуватиме динамічні властивості керованого об'єкта , який описується системою рівнянь (4.1) . Знаючи W(P) , математичну модель керованого об'єкта запишемо в такій формі :

(4.4)

де X(P) – матриця стовпець з елементами X₁(P) ,X₂(P) , а U(P) – відповідно матриця стовпець з елементами U₁(P) ,U₂(P) .

5 Дослідження лінеаризованої математичної моделі керованого об'єкту

Для того , щоб мати наглядне уявлення про динамічні властивості об'єкту необхідно визначити закон зміни вихідних величин КО при нульових початкових умовах і заданих вхідних впливів .

Вхідні впливи для всіх варіантів задач задаються у вигляді ступінчатих функцій :

(5.1)

де А_і – величина , значення якої лежить в межах 0,1 , u_і⁽⁰⁾ – номінальне значення і – тої вхідної величини .

Закон зміни вихідних величин можна знайти двома шляхами : через фундаментальну матрицю Ф(t) і застосувавши перетворення Лапласа безпосередньо до рівняння (4.4) .

5.1 Метод фундаментальної матриці системи Систему диференційних рівнянь (4.1) подамо в матричній формі :

(5.2)

де

Спочатку розглянемо скалярне однорідне рівняння

Воно матиме такий розв'язок :

x=xe^t .

Розв'язок відповідного матричного однорідного рівняння :

(5.3)

будемо шукати в аналітичному вигляді :

x=e^Atx₀ , (5.4)

де е^Аt – матрична експоненціальна функція , яку можна визначити таким чином :

е^Аt= ,

де І – одинична матриця .

Матрицю е^Аt =Ф(t) називають фундаментальною матрицею .

Розв’язок рівняння (5.2) будемо шукати у вигляді

x(t)=e^Atx₀+x_p . (5.5)

Для знаходження часткового розв'язку скористаємося методом варіацій параметрів . Тобто функцію x_p шукатимемо у вигляді :

x_p=Ф(t)к(t), (5.6)

де К(t) – невідома функція , яка підлягає визначенню .

Продиференціювавши рівняння (5.6) за змінною t , знаходимо :

Оскільки частковий розв'язок рівняння (5.2) , то він повинен задовільняти це рівняння . Підставляючи значення х_р і dх_р/dt в (5.2) , отримуємо

або

Оскільки Ф(t) один із можливих розв'язків однорідного рівняння (5.2) , то вираз ,що знаходиться в квадратних дужках дорівнює нулю .

Отже ,

або

Звідси знаходимо

де  - змінна інтегрування .

Тобто

.

Знаючи х_р знайдемо загальний розв'язок рівняння (5.2)

.

Або враховуючи те , що Ф (t) = е^Аt , отримаємо

.

Якщо в останньому виразі матрицю внести під знак інтегралу , то одержимо

(5.7)

Фундаментальну матрицю Ф(t) можна знайти перетворивши рівняння (5.3) за Лапласом :

Звідси знайдемо

(5.8)

Застосувавши до обох частин рівняння (5.8) зворотне перетворення Лапласа, одержимо

(5.9)

Порівнюючи рівняння (5.4) і (5.9) приходимо до висновку , що

e^Аt = . (5.10)

Наведений метод є найбільш зручний при розв'язку багатьох задач. Очевидно , що основна трудність полягає в знаходженні матриці оберненої до [Ір-А].