Пример выполнения задания на тему «геометрические характеристики поперечного сечения»

Определить: положение главных центральных осей и вычислить величины главных центральных моментов инерции.

Дано: Сечение (рис. 2.8) состоит из двутаврового профиля №30 (ГОСТ 8239-89) с площадью сечения S₂ = 46,5 см² и полосы 20×2 см

Рисунок 2.8

Решение:

1. Определяем координаты центра тяжести составного сечения в системе вспомогательных осей u и v (рис. 2.9).

Площадь сечения полосы: S₁ = 40 см²;

Тогда: см;

см.

Рисунок 2.9.

2. Определяем осевые моменты инерции относительно вспомогательных центральных осей х₀ у₀, параллельных собственным главным центральным осям полосы и двутавра.

Момент инерции относительно оси х₀:

,

где: – момент инерции полосы относительно оси х₀;

– момент инерции двутавра относительно оси х₀.

;

Осевой момент инерции полосы относительно оси х₁,

см⁴;

Расстояние до центра тяжести полосы по оси у:

см;

см⁴;

;

Осевой момент инерции двутавра относительно оси х₁,

см⁴ (по ГОСТ 8239–89);

Расстояние до центра тяжести двутавра по оси у:

см;

см⁴;

см⁴.

Момент инерции относительно оси у₀:

;

где: – момент инерции полосы относительно оси у₀;

– момент инерции двутавра относительно оси у₀.

Осевой момент инерции полосы относительно оси у₁,

см⁴;

Расстояние до центра тяжести полосы по оси х:

см;

см⁴;

;

Осевой момент инерции двутавра относительно оси у₁,

см⁴ (по ГОСТ 8239–89);

Расстояние до центра тяжести полосы по оси х:

см;

см⁴;

см⁴.

3. Определим центробежный момент инерции сечения относительно осей х₀, у₀:

.

и , так как соответственно для полосы и двутавра оси х₁ , у₁, и х₂, у₂ являются главными осями

см⁴.

4. Определяем угол наклона главных центральных осей к вспомогательным центральным осям

;

⁰;

⁰,

⁰.

5. Определяем главные центральные моменты инерции

.

Так как > , а ось х составляет меньший угол с осью х₀ , чем с осью у₀ ,

то, очевидно

.

6. Показываем на чертеже положение главных осей инерции (рис. 2.10).

Рисунок 2.10.

3. Сдвиг и кручение

Сдвигом называют такой вид напряженного состояния, когда на гранях элемента действуют только касательные напряжения. При этом на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и обратные по знаку касательные напряжения. Этот закон называется законом парности или взаимности касательных напряжений и имеет силу как для одноосного, так и для объемного напряженного состояний. Деформации, возникающие при сдвиге, называют угловыми деформациями или углом сдвига. Опыты показывают, что между напряжениями и деформациями при сдвиге существует линейная зависимость, аналогичная закону Гука при растяжении. Поэтому закон Гука при сдвиге имеет вид , где - угловая деформация, а G - модуль сдвига.

Следует обратить внимание на то, что модуль продольной упругости, или модуль упругости первого рода Е и модуль упругости при сдвиге, или модуль упругости второго рода G для одного и того же материала связан через коэффициент Пуассона зависимостью . При расчетах на срез обычно принимают, что касательные напряжения распределены равномерно в поперечном сечении стержня и условие прочности на срез имеет вид

τ = F/S  [τ], где F – внешняя поперечная сила.

Допускаемые напряжения на сдвиг (срез) составляют некоторую часть от допускаемых напряжений на растяжение. Рассчитывают на срез соединения заклепочные, болтовые, сварные, шпоночные и некоторые другие типы соединений.

При проведении прочностных расчетов на сдвиг (срез) необходимо научиться правильно определять площади среза для односрезных и многосрезных заклепок, а также для углового сварного шва, в котором срез происходит по биссекторной плоскости прямого угла поперечного сечения шва.

Если в поперечном сечении стержня действует крутящий момент М_К , то стержень испытывает кручение. Необходимо, используя метод сечений, научиться строить эпюры крутящих моментов по длине стержня и определять возникающие касательные напряжения, которые определяются из соотношения τ = М_К / W_Р, где W_Р - полярный момент сопротивления сечения кручению.

В поперечном сечении стержня касательные напряжения распределены неравномерно. Так, для стержня с круглым поперечным сечением касательные напряжения изменяются по линейному закону - от нуля на оси до максимального значения у поверхности. Так как сечения, расположенные у оси стержня, нагружены незначительно, то с целью экономии материала при кручении целесообразно использовать пустотелые профили. Крутящий момент в сечении скручиваемого стержня (вала) численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения.