Пример решения задачи на тему «прямой поперечный изгиб»

Для заданной схемы балки (рис. 4.1) требуется написать выражения внутренних поперечных сил Q и изгибающих моментов М_и для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М_и, найти и подобрать стальную двутавровую балку с указанием её номера. Допускаемое напряжение на изгиб принять МПа, значения моментов сопротивления сечения при изгибеW_х для балок двутаврового сечения взять из таблиц (ГОСТ 8239–89).

Исходные данные: а = 3,2 м,b = 4,4 м,с = 2,4 м, l = 13 м,

М = 10 кНм, F = 13 кН, q = 16 кН/м.

Рисунок 4.1

Решение:

1. Определим опорные реакции R₁ и R₂ :

, ;

;

кН.

кН.

Проверка: ,

Опорные реакции найдены верно.

2. Найдем значения изгибающих моментов М_и и поперечных сил Q на концах участков нагружения методом сечения.

I Участок (рис. 4.2): ,

Рисунок 4.2

,

,

при z₁ = 0, кН;

при z₁ = а = 3,2 м, кН;

кН.

II Участок (рис. 4.3): ,

Рисунок 4.3

кН;

при z₂ = 3,2 м,

кНм,

при z₂ = 7,6 м,

кНм.

IV Участок (рис. 4.4):

Рисунок 4.4

,

,

при z₄ = 0, , ,

при z₄ = 2,4 м, кН;

кН.

III Участок (рис. 4.5) : ( )

Рисунок 4.5

кН,

.

при z₃ = 2,4, кНм.

при z₃ = 5,4 м, кН.

Определим координату сечения , при которой Q₁ = 0 и М_и1 = max.

м.

кНм.

Из построенных эпюр (рис. 4.6) видно, что опасным является сечение, расположенное на 3,07 м от левого конца балки с кНм.

Определим минимально необходимый момент сопротивления сечения балки при изгибе , из условия прочности по нормальным напряжениям.

мм³.

Назначаем двутавр №33 (ГОСТ 8239-89) с осевым моментом сопротивления сечения см³.

Рисунок 4.6

5. Изгиб с кручением

Для решения задач необходимо усвоить тему «Гипотезы прочности и их применение», так как в них рассматривается совместное действие изгиба и кру­чения и расчет производится с применением гипотез прочности.

Условие прочности в этом случае имеет вид:

,

где: М_экв - так называемый эквивалентный момент.

При гипотезе наибольших касательных напряжений (иначе - тре­тья гипотеза):

.

При гипотезе потенциальной энергии формоизменения (иначе - пятая гипотеза):

.

В обеих формулах М_к и М_и - соответственно крутящий и суммарный изгибающий моменты в рассматриваемом сечении вала. Числовое зна­чение суммарного изгибающего момента равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.:

Последовательность решения задачи:

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действие реакциями в вертикальной и горизон­тальной плоскостях.

2. По заданной мощности Р и угловой скорости определить вращающие моменты, действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F₁, F_r1, F₂, F_r2, приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плос­кости и определить реакции опор в обеих плоскостях

5. Построить эпюру крутящих моментов,

6. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры М_х и М_у).

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

или

8. Считая, что , определить требуемый осевой момент сопротивления: .

Учитывая, что для сплошного круглого сечения:

,

определяем d по следующей формуле:

.