Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов. Краткие теоретические сведения

1.1 Представление синусоидального тока комплексными величинами

Любое вещественное число можно изобразить графически на числовой оси Ох. Понятие вещественного числа можно обобщить, если ввести в рассмотрение число z, образованное парой вещественных чисел х,у, взятых в определенном порядке. Такое число z = (x,y) называется комплексным. Вещественные числа х,у составляют соответственно вещественную и мнимую части комплексного числа г. Часто используются обозначения

x=Rez y = lmz

Комплексные числа также можно изображать графически. Это изображение будет двумерным на плоскости, образованной двумя взаимно перпендикулярными осями Ох и Оу. Комплексное число на плоскости хОу представляется точкой М{х,у); эту точку также называют изображением комплексного числа и обратно, пару чисел (х,у), образующих комплексное число z , называют аффиксом точки М .

Любое комплексное число можно представить в одной из трех форм.

• Алгебраической

• Тригонометрической

• Показательной

z = x + jy

z = |z|cosa + j[z|sin а

z = |z|e^ja

Где |z| = - модуль комплексного числа

- аргумент комплексного числа

Аргумент а может являться линейной функцией времени t , т.е. а =

Закон Ома для участка цепи синусоидального тока без источника ЭДС можно сформулировать таким образом: комплексная амплитуда тока в цепи синусоидального тока равна отношению комплексной амплитуды напряжения к комплексному сопротивлению цепи.

Два комплексных числа z = (x,y) и z' = (х',у') считаются равными, если совпадают изображающие их точки. Это означает, что равенство z и z' имеет место в том, и только в том случае, когда

х=х', y=у'

Т.е. другими словами два комплексных числа равны, когда равны их действительные и комплексные части.

Для алгебраической формы представления комплексных чисел справедливо; при сложении двух комплексных чисел складываются отдельно их действительные и комплексные части.

(х, у) + (х', у') = (х + х',у + у').

Умножение двух комплексных чисел следует производить как умножение двух алгебраических двучленов, приводя подобные при нулевой и первой степени числа j и помня, что j² =-1.

(х, у) * (х', у') = (хх'- уу,ху' + х'у)

Если число z = (х,у), то число z'=(х-у) называется комплексно сопряженным к числу z .

Вычитание и деление определяются как операции обратные операциям сложения и умножения, деление на 0 для комплексного числа не определено.

Деление комплексных чисел удобно выполнять с помощью умножения делимого и делителя на число сопряженное делителю. В результате этой, не изменяющей дробь операции, в знаменателе получаем вещественное число.

1.2 Матричная алгебра

Матрицей размера (mхn) называется прямоугольная таблица:

составленная из элементов a_ij и содержащая m строк и n столбцов. Положение элементов в таблице определяется двойным индексом ij, первый означает номер строки, второй номер столбца на пересечении которых стоит данный элемент. Запись группы величин в виде матрицы не предусматривает каких-либо действий над ними. Это лишь одна из форм упорядоченной записи в виде условной таблицы.

Если в матрице А строки сделать столбцами, а столбцы строками, то получается транспонированная матрица А^Т.

Квадратной матрицей называется матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов. Если элементы в квадратной матрице располагаются симметрично относительно главной диагонали, то такая матрица называется симметричной.

Диагональной матрицей называется матрица, в которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, равны 0.

Единичная матрица, это диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят 1.