Обобщенное уравнение состояния
Обобщенное уравнение состояния для схемы произвольной конфигурации имеет вид
A*I = F (1)
Матричная форма записи уравнения, где А матрица параметров схемы замещения, где I - вектор- столбец токов в ветвях, т - число ветвей в схеме замещения, F- вектор-столбец исходных параметров режима. Уравнение (1) объединяет два матричных уравнения. Уравнение по первому закону Кирхгофа
M*I=J
Уравнение по второму закону Кирхгофа:
N*Zв*I=Ek
где М матрица размерностью ((n-1)xm) матрица соединений ветвей в узлах (без балансирующего узла), здесь n- число узлов схемы замещения, n- число ветвей, N- матрица размерностью (nхm), матрица соединений ветвей в независимые контуры, к - число независимых контуров.
Zв-diagZ1 диагональная матрица сопротивлений ветвей.
вектор-столбец
задающих токов в узлах.
Ek=NE- вектор-столбец контурных ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур. Матрицы М и NZB можно рассматривать как блоки одной объединенной матрицы параметров схемы замещения
а
вектор-столбцы
J
и
как
блоки одной объединенной матрицы
исходных параметров режима
Для формирования обобщенного уравнения состояния (1) необходимо предварительно определить матрицы инциденций М и N, которые в аналитическом виде отображают конфигурацию схемы замещения электрической сети. Матрица А обобщенного уравнения состояния является квадратной матрицей порядка (тхт). Тогда из уравнения (1) используя метод обратной матрицы можно сразу определить токи в ветвях:
I=A-1*F
При известных токах в ветвях можно определить напряжения в узлах. Для этого сначала по закону Ома определяем падение напряжения в ветвях схемы
UB=ZBI-E
Если ЭДС в ветвях отсутствует Е =0, то закон Ома принимает вид
Затем
из уравнения
определяем
напряжения в узлах схемы замещения.
Здесь матрица
представляет
собой напряжения узлов относительно
базисного
.
3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Краткие теоретические седения
Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две группы :
точные методы;
методы последовательных приближений.
С помощью точных методов, проделав конечное число операций, можно получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления проводятся без округлений. К точным методам решения систем линейных алгебраических уравнений относятся такие методы как метод обратной матрицы, метод Крамера (определителей), метод Гаусса и др.
Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений применяют для решения систем относительно небольшой размерности (до 10!). Привлекательными в методах последовательных приближений является их самоисправляемость и простота реализации на ПК.
Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Решить систему линейных алгебраических уравнений - значит определить, является ли она совместной или нет. В случае если система совместна, нужно найти ее решение.
Для определения совместности системы можно использовать теорему Кронекера - Капелли, смысл которой состоит в следующем: для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы А был равен рангу ее расширенной матрицы коэффициентов.