Операции над матрицами.

Сложение матриц. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковую размерность. Сложением двух матриц называется операция, при которой складываются элементы, стоящие на одинаковых местах в соответствующих таблицах.

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу А на число , необходимо каждый элемент этой матрицы умножить на число .

Умножение матриц. Умножение матриц в алгебре матриц не коммутативно. Для того, чтобы произведение матриц существовало, необходимо чтобы число столбцов первой матрицы равнялось числу строк второй матрицы. Если матрица А имеет размерность (и хот), а матрица В размерность (mхn), то матрица С=А-В имеет размерность (nхm). В качестве элементов расположенных на пересечении i -той строки и j -го столбца матрицы произведения, принимают суммы попарных произведений, расположенных на одинаковых местах указанных строк матрицы множимого и столбцов матрицы- множителя.

Так как произведение матриц не коммутативно, следует различать умножение матрицы А на некоторую другую матрицу слева и справа, причем в общем случае эти матрицы могут иметь разную размерность.

1.3 Определитель матрицы и его свойства

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Рассмотрим квадратную матрицу:

A=

Определителем или детерминантом второго порядка называется число, вычисленное по следующему правилу:

=

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка:

Определителем третьего порядка называется число, вычисленное по следующему правилу:

Основные свойства определителей матрицы

• Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.

• При перестановки местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак, сохраняя абсолютную величину.

• Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.

• Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

• Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

• Если к элементам отдельной строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный невырожденный множитель Z, то величина определителя не изменится.

Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из квадратной матрицы одинакового числа столбцов и строк.

Если все миноры порядка выше r, которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка r хотя бы один отличен от нуля, то число r называется рангом этой матрицы.

Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой- либо строки (какого- либо столбца) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). При вычислении определителя матрицы таким способом следует руководствоваться следующим правилом: выбирать отроку или столбец с наибольшим числом нулевых элементов. Этот прием позволяет значительно сократить объем вьиислений.