1. Докажем, что такая плоскость существует.

1. Пусть точка а не лежит на прямой b ( )

2. Отметим на прямой b две точки Т и С.

3. Точки А,Т и С не лежат на одной прямой, следовательно, по аксиоме А1 через эти точки проходит некоторая плоскость ( ).

4. Точки Т и С прямой b лежат на плоскости α, значит, по аксиоме А2 плоскость α проходит через точку А и прямую b ( )

2. Докажем единственность этой плоскости.

1. Допустим, что существует еще одна плоскость β, проходящая через точку А и прямую b.

2. Так как плоскость β проходит через прямую b, а точки Т и С лежат на прямой b, то плоскость β проходит через точки А, Т и С, не лежащие на одной прямой.

3. По аксиоме А1 существует только одна плоскость, проходящая через точки А, Т и С, не лежащие на одной прямой. Следовательно, плоскость β совпадает с плоскостью α. Теорема доказана.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Доказательство.

1. Докажем существование плоскости.

1. Пусть прямые а и b пересекаются в точке О (О=а∩b), Е – некоторая точка на прямой b, не совпадающая с точкой О.

2. Тогда по теореме 1 существует плоскость α, проходящая через точку Е и прямую а ( ).

3. Точки О и Е прямой b лежат в плоскости α, следовательно, по аксиоме А2 плоскость α проходит через прямую b. Таким образом, существует плоскость α, проходящая через прямые а и b.

2. Докажем, что такая плоскость единственная.

1. Допустим, что существует еще одна плоскость β, проходящая через прямые а и b.

2. Точка Е лежит на прямой b, следовательно, плоскость β проходит через точку Е и прямую а. По теореме 1 через точку Е и прямую а проходит единственная плоскость, значит, плоскость β совпадает с плоскостью α. Теорема доказана.

2. Методические особенности обучения школьников решению задач на построение сечения многогранников.

Задачи на постр. сечений как и в целом задачи на постр. явл. связующим звеном в курсе стериометрии. Тухолко предл. выделить опорные задачи и опорные конструкции для реш. задач на постр.

Опорные задачи:

1)постр. точки пересеч. прямой и пл-ти;

2) постр. линии пересеч. 2 пл-тей;

3) постр. сечений мн-ков:

а) по 3 точкам(метод следа, метод внутреннего проектирования);

б) через точку и прямую;

в) через точку параллельно другой пл-ти;

г) через точку перпендикулярно прямой;

д) через точку перпендикулярно пл-ти.

4) постр. угла между прямыми;

5) построение общего перпендикуляра между скрещ. прямыми;

6) постр. линейного угла двугранного угла.

Для кажд. опорной задачи формулируется алгоритм решения и примеры его применения конкретной геометрической конструкции. Опорная конструкция-рис., в кот. св-ва одних фигур проявляются в контексте др. фигур, часто в кач-ве них выступает куб, тетраэдр, прямоугольный параллелепипед.

Более раннее изучение темы «сечение мн-ков»:

1) определяет уровень знаний уч-ся по планиметрии;

2) рассм. как средство интеграции логического мышления, конструктивных навыков, графической культуры;

3) помогает организовать систематическую подготовку к изучению темы «комбинация мн-ков и тел вращения».