Методика изучения взаимного расположения прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые.
Возможны 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве:
Прямые пересекаются(имеют 1 общую точку);
Прямые параллельны(лежат в одной плоскости и не пересекаются);
Прямые скрещиваются(не сущ. Плоскости в которой они обе лежат).
Определение:
2 прямые в пространстве называются
параллельными,
если они лежат в одной плоскости и не
пересекаются. Пишут
.
Можно поставить в хорошем классе проблемный вопрос: могут ли 2 прямые в пространстве располагаться так, что через них нельзя провести плоскость? Показ. В окруж. Действительности, на моделях, что они не могут иметь общих точек, ввести термин «скрещивающиеся прямые», показать обозначение.
Определение: две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.
Следует особое внимание уделить признаку, который лежит в основе их построения: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Перед формулировкой признака проиллюстрировать скрещивающиеся прямые используя каркасные модели многогранников и подметить следующие особенности: одна из прямых пересекает плоскость в которой лежит другая прямая, в точке, не принадлежащей ей. Выполняется рисунок, дается формулировка и выполняется доказательство.
Доказ. Следует рассказать учителю, а затем пусть учащиеся повторят его. При док-ве заострить внимание уч-ся на вопрос: что значит, 2 прямые не являются скрещивающимися??(пересекаются или параллельны). В задачах на закрепление должны быть рассмотрены всевозмож. Скрещ. прямые, которым принадлежат ребра многогранников.
Методика изучения параллельности прямых в пространстве.
Вопрос о парал-сти тесно связан с вопросом о взаимном расположении прямых и пл-тей в пр-ве. Возможны 2 подхода к введению понятий: 1) исп-ние геометрич. представлений (исп-ся в школе); 2) исп-ние координатного метода: прямая и пл-сть задаются ур-ями, взаимное расположение опр-ся системой ур-ий.
При изучении также возможны 2 подхода: 1. Первым изучать перпендик-сть, затем парал-сть (1-ое ближе к опыту уч-ся, а понятие парал-сти связ. с бесконечностью – сложнее); 2. Наоборот (упрощает изложение послед-го материала), исп-ся в школе.
Изучение нового материала идет одновременно с повторением изученного на пл-сти. В изучении темы можно выделить 4 блока:
Парал-сть прямых в пр-стве.
Парал-сть прямой и пл-сти.
Парал-сть плоскотей.
Парал-ное проектирование и его свойства.
Схема изложения вопросов 1-3: - определение, - существование, - единственность, - признак, - свойство, - решение задач.
Порядок изуч. вопросов может быть различен у разных авторов.
Опр. Две прямые в пр-стве наз. парал-ми, если они лежат в одной пл-сти и не пересекаются.
Т. (Сущ-ние и единств-сть) Через любую точку пр-ства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, парал-ная данной прямой.
(Сущ-ние док-ся с пом. построения, единств. методом от противного)
Т. (Признак) Если две прямые прал-ны третьей, то они парал-ны между собой.
Т. (Свойство) Если одна из двух парал-ных прямых пересекает данную пл-сть, то и другая прямая перескает эту пл-сть.
Главная методическая трудность – преодолеть противоречие между мысленными образами прямых и пл-тей и их графич. моделями. Для этого максимально исп-ть многогранники, как модели и окруж. предметы.
Материал каждого блока следует излагать с пом. беседы о том, сколько общих точек могут иметь две прямые, при этом опираться на соответствующие аксиомы и теоремы известные ученикам.
Две прямые не могут иметь 2 общие точки, в противном случае они совпадают и имеют бесконечное мн-во общих точек. После этого выяснить могут ли прямые иметь меньше двух общих точек. Результаты беседы полезно сразу же заносить в таблицу, кот. в последующем поможет систематиз-ть знания уч-ся по всей теме.
Можно поставить в хорошем классе проблемный вопрос: могут ли две прямые в пр-ве располаг-ся так, что через них нельзя провести пл-сть?
Показать в окр-ей дейтсв-сти, на моделях, что они не могут иметь общих точек, ввести термин скрещ-ся прямые, показать обозначение, а подробно изучить св-ва их в спец. параграфе.