2 Перемещения при прямом изгибе

2.1 Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

С необходимостью определять угловые и линейные перемещения поперечных сече­ний балок приходится сталкиваться в двух случаях:

1) при расчете (проверке) балок на жесткость;

2) при расчете статически неопределимых балок.

Допущение о малости перемещений позволяет считать, что линейные перемещения - прогибы - направлены перпен­дикулярно продольной оси недеформированной балки (оси Х). По­скольку величина прогиба Y переменна по длине балки и зависит oт абсциссы х, прогиб обозначают Y(х). Наибольший прогиб на­зывается стрелой прогиба. Положительным считают прогиб, когда свободные концы изогнутой балки направлены вверх (рогами вверх), отрицательным —концами (рогами) вниз. На рисунке 2.1 Y(х)< 0.

Угловые перемещения это углы поворо­та q поперечных сечений балки относительно их нейтральных линий (иначе - углы между направлениями продольной оси балки до и после деформирования). Величина q зависит от координаты z, по­этому угол поворота обозначают q(х).

В соответствии с теорией рядов тангенс раскладывается в ряд:

tg q = q + ( q³ / 3 ) + ( 2q⁵ / 15 ) + ( 17q⁷ / 315 ) + … .

В упругой стадии работы материала углы поворота малы, поэтому можно считать tg q @ q. Геометрический смысл производной tg q = dy/dх., Отсюда с достаточной степенью точности угол поворота сечения q принимают равным первой производной от прогиба по абсциссе сечения:

q (z) = dy / dх . (2.1)

Угол считают положительным, если сечение повора­чивается против хода часовой стрелки, и отрицательным, если оно поворачивается по ходу часовой стрелки. На рисунке 2.1 угол q (х) > 0.

Кривая, в которую обращается продольная ось АКВ балки при изгибе, называется изогнутой осью (линия А1К1В). Для определения перемещений поперечных сечений изогнутой оси балки математически описывают ее положение на плоскости уравнением. используя известную из дифференциального исчисления за­висимость производных dy/dх и d²y/dх² от кривизны r оси и зависимость прогиба dy от длины dх балки:

. (2.2)

Подставив в уравнение (8.2) значение кривизны балки (1/r), выраженное через изгибающий М момент и ее жесткость EJ_Z:

(1/r) = ( М_(Х) / EJ_Z )

получим уточненное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

(2.3)

L F х K A B Х , f Y K1 Касательная , к изогнутой , q оси балки A1 N - нормаль , к изогнутой в точке К (К1) оси балки , r Рисунок 2.1 - Консольная балка A1К1В – изогнутая ось балки О

Интегрирование этого нелинейного дифференциального уравнения второго порядка сопряжено с большими трудностями, но ввиду малости углов поворота q и их тангенсов квадратами тангенсов углов tg^2q = (dy/dх)² можно пренеб­речь как величинами весьма малыми по сравнению с единицей: даже при сравнительно невысоких требованиях, предъявляемых СНиПом к жесткости балок покрытий и перекрытий: пре­дельно допустимый прогиб составляет обычно [ f_Д ] £ (1/200)L пролета L, балки. Образующиеся при этом углы поворота не превышают 1°. Следовательно:

tg^{2 q} £ tg² l° = 0,0175² = 0,0003 << 1.

Тогда уравнение (2.3) принимает упрощенный вид:

( d²y / dх² ) = ( М_(Х) / EJ_Z ).

Знак изгибающего момента М_(Х) зависит от направления изгиба изогнутой оси балки. При по­ложительном изгибающем моменте М_(Х) свободные концы балок относительно поперечного сечения изогнуты вверх (балка «рогами» - концами вверх), прогиб Y положителен (рисунки 1.2) знаки изгиба­ющего момента М_(Х) > 0 и второй производной d²y / dх² > 0 больше 0 и совпадают. При отрицательном изгибающем моменте d²y / dх² < 0

Тогда в уравнении (2.3) следует сохранить знак «плюс». Вводя обозначение d²y/dх² = f"(х) получим приближенное дифференциальное уравнение изог­нутой оси балки:

f"(х) = M(х)/ EJ_Z , (2.4)

которое позволяет находить прогибы и углы поворота в любом сечении балки от любой нагрузки. Уравнение балки постоянной жесткости имеет вид:

EJ_Z f"(х) = M(х). (2.5)

Проинтегрировав получаем уравнение углов пово­рота поперечных сечений изогнутой оси балки:

EJ_Х f ¢(х) = q (х)EJ_Z = EJ_Z (dy/dx) = ò M(x)dx + C,

где С — произвольная постоянная интегрирования.

Второе интегрирование дает уравнение прогибов:

EJ_Z f(x) = ò dx ò M(x)dx + Cx +D,

где D — вторая произвольная постоянная интегрирования

Значения постоянных С и D определяются граничными условиями - условиями опирания балки и условиями на границах смежных участков, которых всегда имеется не менее двух: у свободно лежащей балки (рисунок 2.2 а) прогибы на обеих шарнирных опорах равны нулю. При сим­метричном нагружении равен нулю и угол поворота сечения в середине пролета (рисунок 2.2 б).

Консоль имеет нулевые прогиб и угол поворота в защемлении (рисунок 2.2 в).

На границе смежных участков (рисунок 2.2 г) прогиб и угол поворота одинаковы для левого и правого участков; перемещение, полученное из уравнения для левого участков, равно перемещению для правого участка.

YА = 0 F YВ = 0 YА = 0 F YВ = 0 , а А В А В б L / 2 Y¢ = 0 Y¢А = Y¢В YЛЕВ YПРАВ , в YА = 0 F YА = 0 F1= F2 YВ = 0 , г А Y¢А= 0 А В а а dx YЛЕВ = YПРАВ Y¢ЛЕВ=Y¢ПРАВ Рисунок 2.2 – Определение граничных условий