2.2 Метод начальных параметров

Способ аналитического определения перемещений методом непосредственного интегрирования диффе­ренциального уравнения изогнутой оси балки сильно ус­ложняется когда балка имеет несколько участков. В общем случав, когда к балке приложена система нагрузок, делящих ее на п участков, для вычисления перемещений требует­ся составить п выражений изгибающих моментов, дважды проин­тегрировать п дифференциальных уравнений и определить 2п постоянных интегрирования. Для выполнения последней операции кроме двух основных гра­ничных условий (рисунки 2.2 а, в) необходимо рассмотреть еще 2(п - 1) условий совместимости или нераз­рывности перемещений на границах смежных участков (рисунок 2.2 г). Если не применять специальных приемов, то задача по нахож­дению постоянных интегрирования оказывается весьма трудоемкой уже при числе участков п = 3, поэтому в таких случаях прибегают к рационализации аналитического способа определения переме­щений.

Для этого:

1) отсчет абсцисс х при составлении аналитических выражений изгибающего момента на всех участках необходимо производить от начала координат, помещаемого на левом конце балки;

2) сосредоточенный момент М необходимо представить в виде произведения: М(х - а)⁰, где а — расстояние от начала координат до сечения, в котором этот мо­мент приложен (записанное произведение равно М, поскольку любая величина в нулевой степени равна единице);

3) интегриро­вание выражений, содержащих скобки вида (х - а)^п, (х- b)ⁿ (при n = 0, 1, 2, 3), производить без раскрытия скобок;

4) при действии распределенной нагрузки, не доходящей до правого конца рассматриваемого участка, продолжать ее до конца исследуемого участка, одно­временно уравновешивая продолженную нагрузку противоположно направленной нагруз­кой той же интенсивности.

5) все уравнения изгибающих моментов на рассматриваемом участке, содержащих скобки вида (х - а)^п представить со своими степенями (n = 0, 1, 2, 3),

Выполнение перечисленных условий позволяет ограничиться составлением и интегрированием всего лишь одного дифферен­циального уравнения — последнего (крайнего правого) участка балки, на котором находится исследуемое сечение х - х в котором определятся угловое или линейное перемещение балки. В результате общее число постоянных интегрирова­ния оказывается равным двум независимо от числа участков.

В математике поодобное решение дифференциальных уравне­ний связано с именем французского ученого О.Л. Коши (1789 - 1857). Но этот метод разрабатывался и в сопротивлении материалов и основывался он механикой взаимодействия участков исследуемой балки. Создавали метод не­мецкий математик А.Клебш (1833 - 1872) и советские ученые Н.А. Пузыревский (1861 - 1934), А.Н.Крылов (1863 - 1945), И.К. Хнитко (1896 - 1974).

Рассмотрим произвольно нагруженную консоль (рисунок 2.3 а). Согласно условию 1 отсчет абсцисс х при составлении аналитических выражений изгибающего момента на всех участках необходимо производить от начала координат, помещаемого на левом конце балки (рисунок 2.3 б).

По условию 4 при действии распределенной нагрузки q, не доходящей

до правого конца рассматриваемого участка, продолжим ее до конца участка, одно­временно уравновешивая продолженную нагрузку противоположно направленной распределенной нагруз­кой q той же интенсивности.

, а М 0 F q , a A , b B , c C , CПР х , б М q 0 F q , х , х L Рисунок 2.3 - Консоль с произвольной нагрузкой

Составим аналитическое выражение изгибающего момента на исследуемом (последнем) участке, соблюдая правило знаков и условие 2, по которому при наличии сосредоточенного момента М его значение можно представить в виде произведения М = F_М × х⁰,

где F_{М -} сила [Н], создающая изгибающий момент М на плече х⁰ = 1 [м].

тогда сосредоточенный момент М необходимо представлять в виде произведения М = F_М(х - а)⁰, где а — расстояние от начала координат до сечения, в котором этот мо­мент приложен :

.

Так как записанное произведение F_М (х - а)⁰ = М по абсолютной величине и по размерности равно М, а поскольку любая величина в нулевой степени равна единице, тогда (х - а)⁰ [м] = 1 [м], то на несоответствие размерностей в выражениях М (х - а)⁰ ¹ F_М (х - а)⁰ «закрывают глаза», условно полагая, что (х - а)⁰ = 1 безразмерна, учитывая, что | М (х - а)⁰ | = | F_М (х - а)⁰ | численно! по абсолютной величине! равны, вместо F_М (х - а) в уравнение изгибающих моментов по длине балки подставляют М (х - а)⁰:

.

Подставим полученное выражение в дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (8.3), введя в знаменатели сомножители, равные 1:

.

Интегрируем дважды полученное выражение не раскрывая скобок:

,

.

Постоянные С и D определяются из двух граничных условий: в защемлении при z = L угол поворота сечения f ¢ и прогиб f равны 0 ( f ¢= 0 ) ( f = 0 ).

Согласно геометрическому смыслу постоянных интегрирования

С = Е × J_{Z ×} q₍₀₎ ; D = Е × J_{Z ×} f₍₀₎ ;

где q₍₀₎ и f₍₀₎ - угол поворота сечения и прогиб в начале координат –

начальные параметры (условия).

Подставив значение постоянных интегрирования в уравнения перемещений и расположив члены уравнений по возрастанию степени переменной х получим уравнение углов поворота поперечных сечений изогнутой оси балки:

и уравнение прогибов в исследуем сечении х - х на расстоянии х от начала координат

.

Очевидные закономерности построения уравнений распространяются и на первые члены уравнений, так как х⁰ = 1, 0 ! = 1, х¹ = х , а 1! = 1. Заменим в уравнениях (х - а) на А, (х - b) на В, (х - с) на С,

где а, b и с - расстояние от начала координат до сечения, в котором приложены возмущающие факторы: M_i, F_i и q_i, расположенные левее исследуемого сечения х - х ;

А_i, В_i, С_i - расстояние от начала действия возмущающего фактора (M_i, F_i и q_i,) до исследуемого сечения х - х .

Обеспечив возможность учета воздействия всех возможных возмущающих факторов при любом их количестве с учетом их знака, получим следующую редакцию универсальных уравнений деформаций (8.6) и (8.7):

;

.