2.3 Энергетический метод определения перемещений

Энергетический метод вычисления перемещений в поперечных сечениях балок - универ­сальный способ определения перемещений, основанный на усло­вии равенства работы внешних сил, приложенных к ли­нейно деформируемой упругой системе, и потенциальной энер­гии деформации.

Работа А произвольной совокупности приложенных статических внешних сил (рисунок 2.2 г), согласно теореме Клапейрона, равна полусумме произведений конечного значения каждой силы F_t на конечное значение перемещения Δ, по ее на­правлению.

А = 0,5ΣF_{i ×} Δ_i, (2.8)

Для определения потенциальной энергии деформации, численно равной работе внутренних сил, обратимся к рассмот­рению бесконечно малого элемента dх, находящегося в условиях чистого изгиба (рисунок 2.2 г). Из теоретической механики известно, что работа момента равна его произведению на угловое перемещение. При статическом нагружении работа момента на собственном перемещении в соответствии с теоремой Клайперона равна его произведению на половину углового перемещения:

dU = M_X (dq /2).

Так как dq = (dz/r) или, с учетом кривизны балки (1/r), выраженной через изгибающий М момент и ее жесткость EJ_Z:

(1/r) = ( М_(X) / EJ_Z )

получим: dq = M_X dx / (EJ_Z).

Подставим это значение в формулу потен­циальной энергии:

dU = (M_X)²dx / (2 EJ_Z).

При поперечном изгибе в элементе дополнительно накаплива­ется обусловленная поперечной силой энергия деформации сдви­га, но в большинстве случаев она мала по срав­нению с энергией чистого изгиба и полученное выражение эле­ментарной потенциальной энергии можно распространить прак­тически на все случаи прямого изгиба балок. Для определения полной энергии деформации необходимо просуммировать значения dU no всей длине балки. Поскольку за­кон изменения изгибающего момента на всех участках различен, суммирование (вычисление определенных интегралов) произво­дят в пределах длины каждого участка l_i и полученные результаты суммируют:

U = Σ ò_(li) (M_X)²dx /(2 EJ_Z). (2.9)

Для однопролетной балки приравняв правые части уравнений (2.8) и (2.9) 0,5F _× Δ = ò_(li) (M_X)²dx /(2 EJ_Z).

и решив его относительно перемещения Δ = f найдем прогиб балки f

f = (2 /F ) ò_(li) (M_X)²dx /(2 EJ_Z).

2.4 Определение перемещений с помощью интеграла Мора

Найдем прогиб в произвольной точке К бал­ки (рисунок 2.4) приложив к балке в точке К силу F (рисyнок 2.4). Это состояние балки является вспомогательным. Оно не существует в действительности и называется фиктив­ным. Работа A_F силы F на перемещении Δ_КF (первая буква индекса указывает точку, где ищется перемещение, вторая - причину, вызвавшую перемещение) определяется в соответствии с теоремой Клайперона:

A_F = 0,5FΔ_KF .

F K DКF RA RB Рисунок 2.4 – Балка нагруженная поперечной силой F

По (2.9) потенциальная энергия деформации:

U_F = Σ ò_(li) (M_XF)²dх /(2 EJ_Z).

где M_XF - изгибающий момент в произвольном сечении х – х балки от силы F.

Поскольку A_F = U_F ,

0,5 ΣFΔ_KF = Σ ò_(li) (M_XF)²dx /(2 EJ_Z). (2.10)

Приложим к балке, нагруженной силой F, на­грузку F₍₁₎ (рисунок 2.5). Точка К получит дополнительное перемеще­ние Δ_KF1 и сила F совершит дополнительную работу А_FF1=F Δ_KF1. В этом выражении отсутствует множитель 0,5, так как в момент приложения нагрузки F₍₁₎ сила F уже действовала и свое значение не меняла.

F K DКFI F(1) RA DКF DFIFI RB Рисунок 2.4 – Балка нагруженная поперечными силами F и F(1)

Сила F₍₁₎ совершает работу А_F1 на перемещении Δ_F1F1 в точке ее при­ложения:

А_F1= F₍₁₎ Δ_F1F1,

деформируя балку, запасающую потенциальную энергию деформации:

U_F1 = Σ ò_(li) (M_XF1)²dx /(2 EJ_Z).

Уравнение энергетического баланса А_F1= U_F1 имеет вид:

0,5 ΣF₍₁₎ Δ_F1F1 = Σ ò_(li) (M_XF1)²dx /(2 EJ_Z). (2.11)

Полная работа внешних сил представляет со­бой сумму трех слагаемых:

А _Σ = А_F + А_F1+А _FF1 = 0,5F_F Δ_КF + F₍₁₎ Δ_F1F1 + F Δ_КF1. (2.12)

Энергию деформации при совместном действии сил F и F₍₁₎ най­дем по формуле (8.9), принимая во внимание, что согласно прин­ципу независимости действия сил М_Х = М_ХF + М_ХF1:

U = Σ ò_(li) (M_XF+ М_ХF1)²dx /(2 EJ_Z) =

= [1/(2EJ_Z)] × [Σò_(li) (M_XF)²dx+Σò_(li) (М_ХF1)²dx+Σò_(li) 2(M_{XF ×}М_ХF1)dx] . (2.13)

Приравняем правые части выражений (8.12) и (8.13):

0,5(F_F Δ_КF + F₍₁₎ Δ_F1F1) + F Δ_КF1) =

= [1/(2EJ_Z)] × [Σò_(li) (M_XF)²dx+Σò_(li) (М_ХF1)²dx+Σò_(li) 2(M_{XF ×}М_ХF1)dx .

Выражения (2.10) и (2.11) свидетельствуют о том, что первые 2 слагаемых х левой части записанного равенства равны соответственно первым двум суммам правой части. На этом основании приравниваем третьи слагаемые:

F Δ_КF1 = Σ ò_(li) (M_{XF ×}М_ХF1)dx / (ЕJ_Z).

Отсюда искомое перемещение:

Δ_КF1 = Σò_(li) M_XF (М_ХF1/F) dx / (EJ_Z).

Введя обозначение М₁ = (М _ХF1 / F ) и опуская индекс _(Х) у изгибающе­го момента, получим окончательное выражение для определения перемещений - интеграл Мора:

Δ_КF1 = Σò_(li) (M_{F ×}М₁)dх/(EJ_X), (2.14)

где Δ_КF1 - прогиб в рассматриваемом сечении х – х на расстоянии х от начала координат;

M _F - аналитиче­ское выражение изгибающего момента от нагрузки;

М₁ - анали­тическое выражение единичного момента - из­гибающего момента от безразмерной «силы», F₁ равной единице F₁ = 1 приложенной к ненагруженной балке в сечении, где определяет­ся прогиб;

EJ_Z — жесткость сечения балки при изгибе.

Если балка имеет постоянную жесткость:

Δ_КF1 = [1/(EJ_Z)] Σò_(li) (M_{F ×}М₁)dx. (2.15)

С физической точки зрения интеграл Мора представляет собой работу единичной силы на перемещении точки ее приложения, вызванном внешней нагрузкой. Определение углов поворота про­изводят аналогично, но вместо единичной силы к ненагруженной балке в рассматриваемом речении прикла­дывают единичный момент М₁ = 1.

Формулы (2.14) и (2.15) справедливы при любом нагружении обычных балок, когда отношение длины балки L к высоте ее поперечного сечения h составляет L / h > 5 а влияние поперечных усилий – незначительно.