3. Задачі і вправи

Задачі та вправи

для самостійної роботи

та роботи в аудиторії

1. Покажіть, що довжина кривої більше 3.

Приклад.

Розв’язання.

; ; .

.

Оцінка визначеного інтегралу:

де

.

; – критична точка.

, .

що і треба було довести.

2. Доведіть, що крива є колом.

3. Перейдіть до натурального параметра

Приклад.

Розв’язання.

Перевірка.

Якщо – натуральний параметр, то

4. Доведіть, що довжину гладкої кривої можна обчислювати як границю довжин ламаних, які складаються з відрізків, що послідовно з’єднують скінчене число точок на кривій, коли максимальна довжина відрізків прямує до нуля.

5. Знайдіть довжину дуги гвинтової лінії від точки перетину з площиною xOy до довільної точки M.

6. Знайдіть довжину дуги одного витка кривої

між двома її точками перетину з площиною xOz.

7.* Знайдіть довжину дуги лінії між площинами

.

Вказівка: параметризуйте рівняння поверхонь,вважайте, що x, y, z – функції параметру t.

8. Знайдіть довжину дуги кривої між точками, що відповідають значенням параметра 0 і t.

9. Знайдіть одиничні вектори дотичної, головної нормалі і бінормалі у довільній точці таких кривих:

1)

2) .

Приклад. .

Розв’язання.

=

=

.

- одиничний вектор дотичної.

- одиничний вектор бінормалі.

- одиничний вектор головної нормалі.

10. Складіть рівняння головної нормалі і бінормалі наступних кривих у вказаних точках:

1)

2)

Приклад.

Розв’язання. .

– напрямний вектор дотичної;

– напрямний вектор бінормалі;

– напрямний вектор головної нормалі;

- рівняння дотичної;

- рівняння бінормалі;

- рівняння головної нормалі.

ЗАНЯТТЯ ІV. КРИВИНА ТА СКРУТ КРИВОЇ. ФОРМУЛИ ФРЕНЕ