3. Задачі і вправи

Задачі та вправи

для самостійної роботи

та роботи в аудиторії

1. Знайдіть напрямні вектори дотичної, головної нормалі і бінормалі у довільній точці бірегулярної кривої, якщо параметр на кривій:

а) є натуральним;

б) не є натуральним.

2. Знайдіть нормальні вектори стичної, нормальної і спрямної площини у довільній точці бірегулярної кривої, якщо параметр на кривій:

а) є натуральним;

б) не є натуральним.

3. Доведіть, що крива є відрізком прямої тоді і тільки тоді, коли її кривина дорівнює нулю.

4. Знайдіть кривину та скрут:

а) кола; б) гвинтової лінії.

5. Знайдіть кривину у вершинах еліпса з півосями a і b.

6. Доведіть, що у вершині параболи кривина досягає максимального значення.

Вказівка: знайдіть кривину параболи k=k(t) та дослідіть отриману функцію на екстремум.

7. Доведіть, що крива лежить у площині тоді і тільки тоді, коли її скрут дорівнює нулю.

8. Доведіть, що крива бірегулярна, якщо вектори і лінійно незалежні у кожній точці кривої.

9. Доведіть, що кривина графіка функції обчислюється за формулою .

10. Знайдіть кривину та скрут таких кривих:

1)

2)

3)

4)

Приклад.

Розв’язання.

11. Знайдіть при яких a і b скрут кривої в усіх точках дорівнює її кривині.

12.* Знайдіть точки на кривій , у яких кривина має мінімальне значення (локальне).

13. У яких точках радіус кривини кривої

досягає локального мінімуму?

Вказівка: якщо – радіус кривини, то .

14. Доведіть, що наступні криві плоскі, і складіть рівняння площин, у яких розташовані їх образи:

1)

2)

Вказівка: запишіть аналітичну умову того, що крива є плоска, згадайте скільки точок однозначно визначають площину.

ЗАНЯТТЯ V. ОСНОВНА ТЕОРЕМА КРИВИХ. КЛАСИФІКАЦІЯ КРИВИХ