Дәріс 11. Деформацияланатын серпімді жүйелердің орнықтылығы

Конструкция элементтері беріктікке, қатаңдыққа есептелгенде, оған әсер етуші сыртқы күштер мен оның көлденең қималарындағы ішкі күштер өзара орнықты тепе-теңдік күйде деп қарастырылады. Негізінде, кез келген серпімді жүйенің тепе-теңдік күйі орнықты бола бермейді. Мұндай құбылыстар туралы толық түсінік беру үшін физика курсынан мәлім, келесі мысалдарды еске түсірейік.

1 . Ойыс беттің ең төменгі нүктесінде жатқан шарды шамалы қозғап еркіне жіберсек, ол өзінің бастапқы орнына қайта оралады (1,а-сурет). Дененің мұндай күйі орнықты тепе-теңдік күй деп аталады.

2. Горизонталь жазықтық бетінде жатқан шарды шамалы қозғап еркіне жіберсек, ол бастапқы орнына қайтып келмей, қозғалысын тоқтатады (1,б-сурет). Мұндай құбылыс дененің бейтарап тепе-теңдік күйі деп аталады.

3. Дөңес беттің ең жоғарғы нүктесіндегі жатқан шарды шамалы қозғап еркіне жіберсек, ол қозғалысын онан әрі шексіз жалғастыра береді (1,в-сурет). Мұндай құбылыс дененің орнықсыз тепе-теңдік күйі деп аталады.

Осындай құбылыстарды күш әсер еткен серпімді жүйелерде де байқауға болады.

Мысалы, шамасы аз бойлық күшпен сығылған сырық сығылып, өзінің түзу сызықты пішінін шамалы өзгерткенімен, орнықты тепе-теңдік күйін жоғалтпайды (1, г-сурет). Сығушы күш аз шамаға өссе, деформация да аз шамаға өседі. Сыртқы күш әсері жойылса, деформация да жойылып, сырық өзінің бастапқы түзу сызықты орнықты тепе-теңдік күйіне қайтып оралады. Сыртқы күш шамасы дағдарыс күші деп аталатын белгілі межелік күш Р_l шамасынан аз ғана асса, сығылған сырықтың түзу сызықты тепе-теңдік күйі орнықсыз тепе-теңдік күйге айналып, орнықты қисық сызықты тепе-теңдік күйге ауысады (Ід-сурет). Сығылған сырықты түзу сызықты тепе-теңдік күйінен ажырататын ең кіші сыртқы күшшамасы дағдарыс күші деп аталады.

Конструкция элементі орнықтылығын жоғалтпай қызметін сенімді атқаруы үшін сығушы күштің шамасы қауіпсіз күштен бір шама кіші болуы тиіс: Р  [Р], мұндағы [P] - қауіпсіз күш, Р_д, - дағдарыс күші, n_о— орнықтылыққа қауіпсіздік еселігі.

Орнықтылыққа қауіпсіздік еселігі сырықтың көлденең қимасының пішініне, материалдың қасиеттеріне, жұмыс істеу шарттарына, тағы басқа факторларға байланысты өзгереді. Конструкция элементтері орнықтылығын иілгенде, бұралғанда, сондай-ақ күрделі деформацияланғанда да жоғалтуы мүмкін. Ал бұл жерде біз орнықтылық теориясының ең қарапайым түрі – тек бойлай сығылған сырықтардың орнықтылығын қарастырамыз.

Дағдарыс күші. Эйлер формуласы

Бойлық өс бойымен сығылған екі шеті топсамен бекітілген сырықты қарастырайық. Сығушы күштің шамасы дағдарыс күшіне теңелгенде сырық орнықтылығын жоғалтпай, шамалы иіліп, бейтарап тепе-теңдік күйде болады.

Сығылған сырық орнықтылығын ең кіші қатаңдық жазықтығында жоғалтады, яғни иілу инерция моментінің ең аз мәніне сәйкес жазықтықта орын алады, олай болса I=I_min .

Енді сырықтың орнықты тепе-теңдік күйінен ауытқуына сәйкес, дағдарыс күшінің ең кіші мәні

(7)

Бұл формуланы 1744 жылы Петербург академиясының академигі Л. Эйлер ұсынғандықтан, Эйлер формуласы деп атайды.

Тұғыр түрлерінің дағдарыс күші шамасына әсері

Б ейтарап күйдегі топсалы қос тұғырлы сырықтың серпімді сызығы синусоиданың жарты толқынымен сәйкес келеді (З,а-сурет). Еңді, басқа тұғырларменн бекітілген сыықтарды қарастырайық.

Бір ұшы қатаң бекітілген сырықтың екінші ұшында, шамасы дағдарыс күше тең бойлык күш әсер етсін. Бұл арқалыктың серпімді сызығы, бейтарап күйдегі топсалы қос тұғырлы, ұзындығы 2-ге тең сырықтың серпімді сызығының жартысына сәйкес келеді (3 а, б-сурет). Олай болса, қарастырылған сырықтың дағдарыс күші ұзындығы 2l-ге тең, топсалы қос тұғырлы сырықтың дағдарыс күшіне тең

(8)

Енді екі ұшы катаң бекітілген бейтарап күйдегі сырықты қарастырайық. Сырықтың серпімді сызығы синусоиданың екі жарты толқынына сәйкес келеді (З, в-сурет). Бейтарап күйдегі қос тұғырлы сырықтың серпімді сызығымен салыстырып,

(9)

екенін көреміз (3 а, в-сурет).

Дәл осылай бір ұшы қатаң, ал екінші ұшы топсалы тұғырларға бекітілген бейтарап күйдегі сырықтың дағдарыс күшін табамыз. (3, а, г-сурет)

(10)

Бейтарап күйдегі, тұғырлары әр түрлі сырықтардың дағдарыс күштерін анықтайтын Эйлер формуласын жалпы түрге келтіруге болады

. (11)

Мұндағы l- сырықтың ұзындығы; - тұғырлардың түрлеріне байланысты кабылданатын, келтірілген ұзындық еселігі; l = l,0 – сырықтың келтірілген ұзыңдығы.

Келтірілген ұзындық деп, дағдарыс күші берілген сырықтың дағдарыс күшіне тең топсалы қос тұғырлы сырықтың ұзындығын айтады.

Кернеулері пропорционалдық шегінен асқан жағдайдағы сырықтың орнықтылығын жоғалтуы туралы түсінік

Бейтарап тепе-теңдік күйдегі сырықтың көлденең қимасындағы тік кернеу келесі формуламен анықталады

Мұндағы - сырықтыңь икемділігі деп аталып, сырықтың өлшемдері мен тұғыр түрлерінің дағдарыс күшінің шамасына әсерін сипаттайтын өлшемсіз шама. Сонымен, дағдарыс кернеуі

. (12)

Эйлер формуласын қорытьп шығарғанда сырықтың серпімді өсінің дифференциалдық теңдеуі пайдаланылады. Бұл теңдеу, сырықтың серпімді деформацияланужағдайында ғана күшін сақтайды. Сондықтан, Эйлер формуласын сығылған сырықтың көлденең қимасындағы тік кернеу пропорционалдық шектен аспайтын жағдайда ғана пайдалануға болады

бұдан Эйлер формуласының қолдану шарты

(14)

Демек, болғанда Эйлер формуласын пайдалануға болмайды. Мысалы, Ст3 болатынан жасалған сырық үшін ( = 200 МПа)

.

Тік кернеулері пропорционалдық шектерінен үлкен, сығылған сырықтар үшін дағдарыс күшін анықтау - күрделі мәселелердің бірі. Көптеген тәжірибелік зерттеулердің нәтижелеріне сүйеніп Ф.С. Ясинский икемділік шамасы кіші ( ) сырықтардың дағдарыс кернеулерін анықтауға келесі формуланы ұсынған

(15)

Мұндағы a,b—материалға байланысты қабылданатын тәжірибеден анықталатын еселіктер. Қарастырылған Ст3 болаты үшін a=310 МПа, b=1,14 МПа. Икемділік шамасы 100 болғанда болат сырықтың дағдарыс кернеулері Ясинский формуласымен анықталады. Икемділік шамасы < 40 болса сырықты орнықты деп қарастырылып, тек беріктікке есептеледі.

Сығылған сырық беріктік қасиетін немесе орнықтылығын жоғалтса, жүк көтеру қабілетінен айрылады. Сондықтан, сығылған сырықттар беріктікке есептелумен қатар, міндетті түрде орнықтылыққа да тексеріледі

Орнықтылық шарты мына түрде жазылады

мұндағы - орнықтылыққа қауіпсіз кернеу; n₀ –орнықтылыққа қауіпсіздік еселігі.

Орнықтылықтың қауіпсіз кернеуін сығылу кезіндегі негізгі қауіпсіз кернеумен - салыстырайық

.

Бұдан

Негізгі қауіпсіз кернеуді азайту еселігі деп аталатын шаманы енгізіп, қауіпсіз кернеулерінің арасындағы байланысты мына түрде жазуға болады

(16)

Mұңдағы -негізгі қауіпсіз кернеуді кеміту еселігі.

Негізгі қауіпсіз кернеуді кеміту еселігін сырықтың кез келген икемділігі ( ) үшін есептеп шығаруға болады.

Негізгі қауіпсіз кернеудің кеміту еселігін ( ) пайдаланып сығылған сырықтың орнықтылығын тексеру тәртібі мынандай болады:

1. Өлшемдері мен пішіні белгілі қиманың ең кіші инерция радиусы мен сырықтың иілгіштігі анықталады

2. Сырықтың икемділігі -ға сәйкес анықтамалықтардан алынып, орнықтылыққа қауіпсіз кернеуі анықталады .

3. Сығылған сырықтың тік кернеуі орнықтылыққа қауіпсіз кернеуімен салыстырылып, орнықтылығы тексеріледі .

Сығылған сырық үшін жобалау есебі келесі теңсіздік бойынша шешіледі

Бұл теңсіздікте А, белгісіз. Сондықтан, олардың бірі белгілі деп есептеліп (мысалы, алғашқы жуықтауда ₁^’=0.5) , қима ауданы

инерция радиусы

сырықтың икемділігі анықталады

Кестеден –ға сәйкес шамасы алынып ^'₁ -мен салыстырылады. Егер ^/ пен -дің арасындағы айырмашылық 4-5% тен аспаса, есеп шешілген деп есептеледі. Егер асса -дің орнына келесі жуықтау кезеңінде қойылып, шамалары қайта анықталады. Анықталған ₁ шамасы ₁ ^/ -мен қайта салыстырылады т.с.с.

Негізгі әдебиеттер [7, 158-167 бет..], [8,1200-216 бет.], [9, 413-429 бет., 447-450 бет.], [10, 264-275 бет.]

Қосымша әдебиеттер [25]

Бақылау сұрақтары:

1. Эйлер формуласы және оның қолданылу аясы.

2. Тұғыр түрлерінің дағдарыс күшіне әсері.

3. Ясинский формуласы. Сығылған сырықтардың орнықтылық шарты.