Дәріс 5. Ығысу (кесілу). Бұралу. Жазық қималардың геометриялық сипаттамалары
Таза ығысу кезiнде кез келген нүктенiң төңiрегiнен бөлiп алынған және белгілі бағдарланған тiк төртбұрышты элемент тек қана ығысу деформациясына ұшырайды да, қабырғаларының ұзаруы болмайды. Аталған элементтiң жақтарына тек ғана жанама кернеулер әсер етедi. Сонымен екi өзара перпендикуляр анық бағдарланған аудандарда тек қана жанама кернеулер әсер ететiн жазық кернеулi және деформацияланған күйдi таза ығысу деп атайды.
О нүктесі арқылы өтетін, берілген қиманың жазықтығымен α бұрышын жасай орналасқан п—п ауданындағы тік және жанама кернеулер мынаған тең болады
(1)
(2)
(2)
өрнектен жанама кернеулер, абсолют
шамасы бойынша, басқа кез келген осы
нүкте арқылы өтетін аудандардағы жанама
кернеулерден үлкен болатыны көрініп
тұр (себебі
и
болғанда cos2
-ның
абсолют шамасы бірден кіші).
Демек,
параллелепипедтің жақтарына әсер етіп
тұрған жанама кернеулер экстремал мәнге
ие (
және
),
ал олар әсер етіп тұрған аудандар ығысу
аудандары
деп аталып, бас аудандармен 45° бұрыш
жасайды.
формуладан көрініп тұрғанындай, =45° болғанда,
ең үлкен мәнге ие болады
,
себебі sin2
=
sin 90° = 1, aл
=
- 45° болғанда, ең кіші мәнге
ие болады. Демек, таза
ығысу кезінде бас кернеу (экстремал
тік кернеу) мен экстремал жанама
кернеулер өзара тең.
Таза
ығысу кезiнде тiк кернеулердiң тағы бip
ерекшелiгiн атауға болады – кез
келген өзара перпендикуляр алаңдарда
олар шамасы жағынан тең, ал таңбасы
бойынша қарама-қарсы,
яғни (1) формуладан және
теңдiгiнен
.
Сонымен, таза ығысу кезiнде түрi бойынша
жанама кернеулердiң жұптық заңына ұқсас
«тiк
кернеулердiң жұптың заңы»
байқалады. Бұдан таза ығысу кезiнде бас
кернеулер
шартын қанағаттандыратын дербес тұжырым
шығады.
Сонымен, таза ығысу кезіндегі кернеулі күйді 2-суретте көрсетілгендей:
а) бүйір беттері, тек қана τmax, τmin жанама кернеулері әсер ететін таза ығысу аудандарымен беттесетін элементар параллелпипедпен (ABCD параллелепипеді);
б) бүйір беттері, тек қана σmax = τmax, және σmin=τmin тік кернеулері әсер ететін бас аудандарымен беттесетін элементар параллелпипедпен (abcd параллелепипеді);
в) бүйір беттері, таза ығысу аудандарымен де, бас аудандармен де беттеспеййтін элементар параллелепипедпен (1, 2, 3, 4 параллелепипеді) кескіндеуге болады. Осы параллелепипедтің өзара перпендикуляр бүйір беттеріне шамалары бір-біріне тең, бағыттары қарама-қарсы тік кернеулер мен жанама кернеулер әсер етеді.
2-сурет
Таза
ығысу кезінде кез келген аудандағы
толық кернеу
р=
абсолют шамасы бойынша τmax,
-ге тең.
3
-суретте
таза ығысу жағдайындағы кернеулі күйі
келтірілген. Бұл жағдайда элементар
параллелепипедтің қабырғаларының
ұзындығы өзгермейді, тек бүйір
қабырғаларының арасындағы бастапқыкүйдегі
тік бұрыштар 900
+
және 900-
-ға
өзгереді
Таза ығысу кезінде параллелепипедтің әрбір қабырғасы, қарсы қабырға-сына қарағанда абсолют ығысу деп аталатын АА’ шамасына орын ауыстырады. Абсолют ығысудың қарама-қарсы қабырғалардың арақашықтығына қатынасы салыстырмалы ығысу деп аталады. Өте аз деформация кезінде ол, γ ығысу бұры-шына, яғни бүйір қабырғалардың арасындағы бастапқы күйдегі тік бұрыштың өзгеруіне тең. Абсолют ығысу ұзындық өлшемімен өлшенеді, ал салыстырмалы ығысу - өлшемсіз шама. Тәжірибелер ығысу бұрышы γ-ның жанама кернеу τ-ға тура пропорционал екенін көрсетеді. Бұл тәуелділік ығысу кезіндегі Гук заңы деп аталып, төмендегідей формуламен өрнектеледі:
,
(3)
немесе
.
(4)
Бұл қатынас материалдың пропорционалдық шегінен аспайтын кернеулер үшін орындалады.
(3), (4) формулалардағы G прапорционалдық еселігін ығысу модулі немесе екінші текті серпімділік модулі деп атайды.
Ығысу модулі материалдың ығысу кезіндегі қатаңдығын сипаттайтын физикалық тұрақты болып саналады. Серпімділік модулі Е сияқты ол да кернеу бірліктерімен өлшенеді.
Бұралу
Бойлық өске перпендикуляр, қима жазықтықтарында жатқан айналдырушы моменттерінің (жұп күштердің) әсерінен және әсер ету сызығы ауырлық орталығы арқылы өтпейтін күштердің әсерінен сырықтарда бұралу деформациялары пайда болады. Мәшинелердің айналдырушы моменттерін (Ма) бір бөлшектен екінші бөлшекке жеткізуге арналған бұл сырықтар біліктер деп аталады.
Бұралып деформацияланған сырықтардың көлденең қималарында бұраушы моменттен (Мб) басқа күш факторлары пайда болмайды.
Кез келген қимадағы бұраушы момент қиманың бір жағында жатқан сыртқы айналдырушы моменттердің алгебралық қосындысына тең.
Егер айналдырушы момент қалған бөлікті, қима жағынан қарағанда сағат тілі бағытына қарсы айналдырса, онда қимадағы бұраушы момент оң, ал сағат тілі бағыты бойымен айналдырса - теріс таңбалы деп саналады.
Бұраушы момент – көлденең қимада таралған ішкі жанама кернеулердің ауырлық орталығына қатысты қорытынды моментіне тең, яғни
. (5)
С
татиканың
бұл теңдеуі жанама кернеудің шамасын
анықтай алмайды, өйткені олардың қима
жазықтығындағы таралу заңдылығы
белгісіз.
Кернеудің қима жазықтығындағы таралу заңдылығын табу үшін көлденең қимасы дөңгелек біліктен ұзындығы dz-ке тең элементтi бөліп алып, одан радиусы -ға тең цилиндр пішінді орта бөлiгiн қиып алайық (4, а-сурет). Сырықтың бұралуы кезiнде элементтiң оң жағы сол жағына сәйкес бұрылады. Жақтардың сыртқы контурында бip жасаушының бойында жатқан екi нүктенiң абсолют орын ауыстыру айырмасы mm-қа тең болады.
Ол
mn=dz-ке
тең ұзындықта болғандықтан, элемент
бетiндегi салыстырмалы ығысу:
Көлденең қиманың кез келген нүктесi
үшiн салыстырмалы ығысу берiлген нүктеден
білік өсiне дейiнгi қашықтыққа пропорционал
болады. Егер оң қиманың бойлық өске
қатысты бұрылуын d
арқылы белгiлесек, онда mmd
(4, б-сурет), ал салыстырмалы ығысу
(6)
Қиманың әpбip нүктесi үшiн салыстырмалы ығысу бұл нүктенiң сырық өсiнен қашықтығына пропорционал.
Бұралу серпiмдiлiк аймағында қарастырылатындықтан, Гук заңына сәйкес сырық элементiнiң салыстырмалы ығысу шамасы бойынша жанама кернеудi анықтауға болады. Бұл үшiн ығысу кезіндегі Гук заңын
G (7)
өрнектейтiн формуланы пайдаланып, -ны (6) формуладан табылған мәнiмен ауыстырғанда
(8)
түріндегі кернеу формуласын табамыз. Мұндағы — қиманың iшiнен бөліп алынған кез келген аудан элементіндегі кернеу; — бұл элементтен киманың орталығына дейiнгi қашықтық (4б-сурет).
Енді
(5) формулаға сүйеніп,
екенін көреміз. Мұндағы
-
қиманың полюстік инерция моменті.
Олай
болса
.
(8) формуланы ескеріп, жанама кернеу
үшін төмендегідей өрнекті аламыз
.
(9)
болғанда,
жанама кернеу ең үлкен мәніне ие болады
(10)
мұндағы
-
полюстік
қарсылық моменті
деп аталады.
Тұтас дөңгелек қима үшiн:
, (11)
ал сақина тәрізді қима үшiн
(12)
с – сақинаның ішкі диаметрінің сыртқы диаметріне қатынасы.
Бұралған біліктерді беріктік пен қатаңдыққа есептеу.