Разложения функций в ряд Маклорена:
,
Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.
Теорема.
2.1. Если
функция
на интервале
разлагается в степенной ряд,
,
(22)
то она интегрируема
в интервале
и интервал от нее может быть вычислен
почленным интегрированием ряда (22), т.е.
если
,
то
2.2. Существуют определенные интегралы, которые как и функции верхнего предела, не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие интегралы удобно вычислять с помощью рядов.
Разлагая
подынтегральную функцию
в степенной ряд и используя теорему об
интегрировании степенных рядов,
представим интеграл
в виде степенного ряда и подсчитаем
величину этого интеграла с заданной
точностью при любом значении
из интервала сходимости полученного
ряда.
Оценка точности вычисления определенного интеграла.
Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если ряд знакопеременный, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда.
Решение типовых примеров
1. Вычислить с точностью до 0,001 интервал:
а) Разложим
в ряд Маклорена, воспользовавшись
стандартным разложением и записав
вместо
,
б)
Проинтегрируем почленно полученное равенство
Оценим третье слагаемое
,
значит, его можно не учитывать.
2.Вычислить с точностью до 0,001 интервал:
Воспользуемся
разложением
в ряд Маклорена
,
оценим второе и третье слагаемое
Значит третье и все последующие слагаемые можно не учитывать, т.е.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗА II СЕМЕСТР
Раздел I. Неопределенный интеграл
1. Неопределенный интеграл , его свойства.
2. Таблица основных интегралов.
3. Метод подстановки (замена переменной).
4. Интегрирование рациональных дробей.
5. Интегрирование рациональных дробей.
6. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических выражений.
Раздел II. Определенный интеграл
7. Определенный интеграл, его свойства.
8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
9. Определенный интеграл с переменными верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
10. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длин кривых и объемов тел.
11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
12. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Раздел III. Дифференциальные уравнения
13. Основные понятия и определения.
14. Метод разделения переменных.
15. Однородные уравнения первого порядка.
16. Линейные уравнения первого порядка.
17. Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка.
18. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (основные определения и понятия).
19. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
20. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.