3. Уравнение с разделяющимися перемеными.
3.1. Если дифференциальное уравнение имеет вид:
,
где коэффициент
при
зависит только от
,
а коэффициент при
только от
,
то уравнение называется уравнением
с разделенными переменными.
Общее решение
такого уравнения будет
3.2.
Дифференциальное уравнение
(30)
называется уравнением с разделяющимися переменными. Умножая обе части
данного уравнения
на
, получаем уравнение с разделенными
переменными:
Общим интегралом этого уравнения, а следовательно, и уравнения (10), будет
3.3. Однородные дифференциальные уравнения.
Уравнение вида
называется однородным,
если
и
- однородные функции одного измерения.
Функция
называется однородной измерения
,
если
.
Однородное
уравнение может быть приведено к виду
.
С помощью подстановки
однородное
уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными по отношению
к неизвестной функции
.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение вида
(31)
называется линейным
и
входят в первых степенях, не перемножаясь
между собой).
Первый способ решения
Если
,
уравнение называется однородным.
Уравнение, в котором
- неоднородным.
Общее решение
уравнения
легко получается разделением переменных:
;
;
или
,
где - произвольная постоянная.
Общее решение линейного неоднородного уравнения находится исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения, варьируя произвольную постоянную, т.е. полагая
где
-
некоторая, подлежащая определению,
дифференцируемая функция от
.
Для нахождения
нужно подставить
в исходное уравнение, что приводит к
уравнению
.
Отсюда
И искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:
.
Второй способ решения
Линейное уравнение
первого порядка можно интегрировать и
введя замену
,
где
и
две неизвестные функции. Преобразуем
уравнение (28), подставив в него значения
и
.
Получим
или
.
Одна из неизвестных
функций (например
)
может быть выбрана произвольно (поскольку
лишь произведение
должно удовлетворять уравнению (31)),
принимают за
любое частное решение уравнения
,
обращающее в нуль коэффициент при
в последнем уравнении.
Т.е.
;
;
;
Тогда предыдущее уравнение примет вид:
;
;
;
;
Умножая на получим решение исходного уравнения:
;
.
Решение типового примера
Пример: Найти общее
решение дифференциального уравнения
и частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
при
Решение:
Соответствующее однородное уравнение
Найдем его общее решение:
.
Имеем
или
.
Тогда
Отсюда
.
.
Ищем решение
исходного неоднородного уравнения в
виде
,
где - неизвестная функция.
Подставляя в
исходное уравнение
и
,
придем к
уравнению
или
;
.
Откуда
,
,
Общее решение
данного уравнения
.
Используя начальное
условие
,
,
получим
;
откуда
Следовательно,
искомое частное решение имеет вид
.
Второй способ решения
Разделим на
обе части исходного уравнения:
.
Для решения этого
уравнения применим подстановку
,
тогда
.
Уравнение примет
вид
или
.
Полагая
,
найдем функцию
,
когда
;
;
;
;
;
;
;
.
Функцию
найдем из условия:
Подставим
, получим:
,
.
Отсюда находим
;
;
;
и, следовательно, общее решение исходного уравнения получим в виде:
;
.
(*)
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию
при .
Подставим
в равенство (*) и найдем
.
,
Следовательно, искомое частное решение имеет вид: .
Задачи 71-80
Для решения задач 71-80 необходимо изучить следующие темы:
1. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. [2] гл. XIII §
2. Линейные неоднородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 2] гл. XIII §
Указанные разделы учебников содержат следующие основные теоретические сведения
Основные теоретические сведения.