1. Числовые ряды. Сумма ряда.

   1. Пусть дана числовая последовательность

Выражение вида

(36)

называется числовым рядом или просто рядом. При этом называется членами ряда, а член - произвольным номером – общим членом ряда.

1.2. Сумма конечного члена первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда.

1.3. Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда (36) и ряд называется сходящимся.

1.4. Если не существует, то ряд называется расходящимся.

Например, ряд , (*) составленный из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем .

Сумма первых членов .

Если , то при , следовательно , значит ряд (*) сходится.

Если , то при , тогда при , т.е. не существует. То есть ряд (*) расходится.

Если , то ряд имеет вид

, , то есть ряд (*) расходится.

Если , то ряд имеет вид

В этом случае

,

т.е. предела не имеет - ряд (*) расходится.

2. Основные свойства сходящихся числовых рядов.

   1. Если сходится ряд

, (37)

то сходится и ряд , (38)

наоборот, если сходится ряд (38), то сходится и ряд (37).

2.2. Если ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где - некоторое число, также сходится, и его сумма равна .

2.3. Если ряды и сходятся и их суммы, соответственно, равны и , то ряды сходятся и их суммы равны .

3. Необходимый признак сходимости.

3.1. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании , т.е. .

3.2. Если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Примечание: Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что -й член ряда стремится к нулю, ещё не следует, что ряд сходится, - ряд может и расходится.

Например, так называемый гармонический ряд

Расходится, хотя

4. Признаки сравнения.

   1. Первый признак сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами

(39)

(40)

причем каждый член ряда (39) превосходит соответствующего члене ряда (40), т.е. ( ). Тогда если сходится ряд (40), то и сходится ряд (39); если расходится ряд (39), то и расходится ряд (40).

2. Второй признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

5. Признак Даламбера.

Если для ряда , существует , то

1. Ряд сходится, если ;

2. Ряд расходится, если

3. Ответа на вопрос о сходимости или расходимости признак не дает, если

6. Признак Коши.

Если для ряда , существует , то

1. Ряд сходится, если ;

2. Ряд расходится, если

3. Ответа на вопрос о сходимости или расходимости признак не дает, если

7. Интегральный признак сходимости.

Пусть члены ряда (41)

Положительны и не возрастают, т.е. и пусть - такая непрерывная невозрастающая функция, что

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (41)

2) если указанный интервал расходится, то расходится и ряд (41)

8. Знакочередующиеся ряды.

   1. Ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида , где положительны.

   2. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к 0, т.е. если выполняются следующие 2 условия:

1)

2)

8.3. Знакопеременным рядом называется ряд с произвольным чередованием знаков своих членов.

8.4. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

8.5. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.