3. Основные формулы интегрирования

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

Примечание 1.

Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов, которые будем использовать при решении (a и

b – произвольные постоянные):

Примечание 2.

Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной, т.е.

Укажем дифференциалы некоторых функций (a и b – произвольные постоянные):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. где

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Примечание 3.

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила:

1. Если то

2. Если то

3. Если то

4. Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы основных интегралов и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием. Здесь могут представиться следующие случаи:

1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2. данный интеграл после применения его свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3. данный интеграл после элементарных преобразований над подынтегральной функцией и применения его свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

5. Метод замены переменной (метод подстановки)

Существуют следующие два варианта этого метода:

а) Метод подведения под знак дифференциала.

Пусть требуется вычислить интеграл Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде (указанное преобразование называется подведением под знак дифференциала). Заметим, что выполняется соотношение (*), где Поэтому вычисление интеграла (*) сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще исходного) и следующей подстановке

б) Метод подстановки.

Этот метод состоит в том, что иногда можно упростить путем введения вместо какой-либо новой переменной. При помощи надлежащего выбора новой переменной удается привести некоторые интегралы к более простому виду, после чего их вычисляют.

Пусть

В этом случае имеет место формула:

Итак, для преобразования неопределенного интеграла к новой переменной , полагая , достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение.

Вместо подстановки иногда употребляют и обратную подстановку:

6. Интегрирование по частям.

Этот метод, также как и метод подстановки, который мы только что рассмотрели, принадлежит к числу основных методов интегрирования.

Пусть и – две дифференцируемые функции от . Тогда

Интегрируя обе части этого равенства, получаем:

Отсюда: (20)

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.

Из формулы (20) следует, что интеграл приводится к интегралу , который в результате её применения оказывается более простым, чем данный, или даже табличным.

Для применения формулы интегрирования по частям к некоторому интегралу следует подынтегральное выражение представить в виде произведения двух множителей: u, dv. При этом надо прежде всего установить, какая функция принимается равной u и что относится к dv. Затем по установленному выражению u надо дифференцированием найти du, а по известному dv определить интегрирование v. Таким образом, для применения формулы (20) потребуется выполнить одно дифференцирование для определения du и одно интегрирование для определения v. Для выбора u и dv нельзя дать никаких общих указаний, за исключением того, что

а) dx должно быть частью множителей dv;

б) функцию v(x) можно найти интегрированием;

в) в качестве u(x) , берется функция, которая при дифференцировании упрощается.

Укажем несколько типов интегралов, вычислять которые удобно интегрированием по частям;

1. 2) 3)

4)

В этих интегралах за u принимается что приведет к интегралу сходного типа, но уменьшит показатель степени x на единицу. После n- кратного применения этого приема получим один из табличных интегралов:

5) за u принимаем

6) за u принимаем ;

7) за u принимаем ;