3.1. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Процедура перевода десятичных чисел в р-ую систему счисления:

1. Перевести отдельно целую часть числа х, для чего последовательно делить сперва целую часть [х]₁₀ , а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р; изображение [х]_p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого;

2. Перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть {x}₁₀ , для чего последовательно умножать сперва исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}_p ; изображение {х}_p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части;

3. Результат будет иметь вид (х)_р = [х]_p, {х}_p .

Пример. Дано число 12,8₁₀ . Необходимо перевести число 12,8₁₀ в двоичную систему счисления.

Решение:

1. Переводим целую часть: 12₁₀ =1100₂;

2. Переводим дробную часть (полужирным выделены цифры, идущие в изображение мантиссы в двоичной системе):

0,8x2 =1,6; 0,6x2=1,2; 0,2x2=0,4; 0,4x2=0,8; 0,8₁₀=0,1100110₂;

3. Результат перевода: 12,8₁₀ = 1100,1100110011...₂.

Пример. Дано число 29,25₁₀. Перевести число 29,25₁₀ в восьмеричную систему счисления.

Решение имеет вид

1) 29₁₀ = 35₈ ;

2) 0,25₁₀ = 0,2₈ ;

3) 29,25₁₀ = 35,2₈ .

Пример. Дано число 79,26₁₀. Перевести число 79,26₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

1) 79₁₀ = 4F₁₆ ;

2) 0,26₁₀ = 0,40₁₆ ;

3) 79,26₁₀ = 4F,4₁₆ .

При переводе дробной части мы ограничились нахождением двух значащих цифр после запятой, ибо перевод точно сделать невозможно.

4. Арифметические операции в позиционных системах

Счисление сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 210 = 102 (единица идет в старший разряд)

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 – 1 = 102

102 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда)

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид

0 : 0 не определено

1 : 0 не определено

0 : 1 = 0

1 : 1 = 1

Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1).

Дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде.

Пример.

1. 10011  двоичное число,

01100  обратный код этого двоичного числа,

01101  дополнительный код этого двоичного числа;

2. 457  восьмеричное число,

321  дополнительный код;

3. А9  шестнадцатеричное число,

57  дополнительный код.

Вычитание с помощью дополнительного кода: найти дополнительный код вычитаемого такой же разрядности, как и уменьшаемое, и сложить этот код с уменьшаемым. Результатом вычитания будет полученная сумма без учета старшего разряда (отбрасывается).

Пример. Выполним вычитание напрямую и через сложение (через дополнительный код):