Задача № 3

Пример 1. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Общий подход:

– вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием , из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.;

– в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 11₄ = 5;

– потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16.

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

1. Общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

2. Среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при ).

3. Таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

1. Переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 121₄, все интересующие нас числа не больше этого значения.

2. Из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:

это 11₄ = 5 и 111₄ = 21

3. Таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Пример 2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Общий подход:

– здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через N;

– поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть N > 2;

– вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на N.

Решение:

1. Итак, нужно найти все целые числа , такие, что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)

(*)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …).

2. Сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа.

3. Из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2.

4. В этой задаче есть только три таких делителя: и 21.

5. Таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .

Задача № 4.

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

– неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

– пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

2 1 0 ← Разряды

31 = k 1 1_N = k·N² + N¹ + N⁰ = k·N² + N + 1;

– можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем: