Момент времени, на который определяется наращенная сумма аннуитета

Момент времени, на который определяется приведенная стоимость

Время (t)

-

Рис 2. Аннуитет – конечная последовательность равных платежей через равные интервалы времени

Задача 4

Срок до погашения выпуска бескупонных евробондов корпорации Х – 4 года.

Для погашения обязательств по данному займу корпорация начинает формировать фонд на специальном счете в банке У, откладывая на счет ежеквартально фиксированную сумму денег. Начало формирования фонда приурочено к моменту времени, размер обязательств по данному выпуску евробондов – 50 млн. долл.

Какую сумму эмитент должен откладывать на свой счет каждый квартал, чтобы полностью погасить свои обязательства?

Банк начисляет на вложенные средства доходы по сложной ставке 2% за квартал; условно будем считать, что момент погашения займа совпадает с моментом последнего взноса.

Решение:

По условию данной задачи,

FVA = 50 млн. долл.

r = 2% за квартал, или 0,02.

Число платежей n равно числу кварталов, оставшихся до погашения, плюс один платеж в нулевом периоде, т.е.

n = 4 года х 4 квартала в году + 1 начальный платеж = 17

FVA = R x S_nr;

S_nr = ((1 + r)ⁿ – 1)/r

Неизвестен единичный платеж R, тогда:

R = FVA / S_nr;

R = 50 млн. долл. / (((1+0,02)¹⁷-1)/0,02)

С помощью электронной таблицы Excel рассчитаем S_nr – будущую (наращенную) стоимость единичного аннуитета (аннуитета, все платежи которого равны одной денежной единице).

Ответ: Эмитент ежеквартально должен вносить в фонд погашения займа сумму R = 2,498 млн. долл.

Приведенная (нынешняя) стоимость аннуитета (PVA) на момент, предшествующий первому платежу (см. рис. 2), определяется по формуле:

PVA = R x A_nr;

A_nr = (1 – 1/(1 + r)ⁿ)/r,

где A_nr – приведенная (нынешняя) стоимость единичного аннуитета (аннуитета, все платежи которого равны одной денежной единице).

Задача 5

Технологическое оборудование стоимостью 5 млн. долл. Поставляется на следующих условиях:

• 50% стоимости оплачивается сразу, а оставшаяся часть выплачивается в рассрочку равными платежами в течение 3 лет;

• выплата производится раз в квартал.

Чему должна быть равна срочная уплата, если квартальная ставка сложного процента (начисление раз в квартал), под которую предоставляется рассрочка, равна 6%?

Решение:

Составим уравнение:

5 млн. долл. х 0,5 = R * A_12;0.06

где 12 = 4 квартала/год х 3 года – число платежей;

6% или 0,06 – квартальная ставка кредитования;

2,5 млн. долл. = R*(1-(1+0,06)¹²)/0,06,

Рассчитаем приведенную (нынешнюю) стоимость единого аннуитета A_nr (аннуитета, все платежи которого равны одной денежной единице) и сумму срочной ежеквартальной уплаты с помощью электронной таблицы Excel.

Ответ: сумма срочной ежеквартальной уплаты R составит 0,298 млн. долл.

Приведенная стоимость перпетуитета (PVP) представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/(1+r). Зная соответствующее правило, легко показать, что эту сумму можно определить по формуле:

PVP = R/r