Тема 14. Виды нелинейных уравнений регрессии

14.1Ограничения применения мнк

Многие экономические процессы описываются нелинейными функциональными зависимостями.

Метод наименьших квадратов применим к линейным (относительно коэффициентов и параметров) аддитивным регрессионным уравнениям следующего вида:

У = а₀ + а₁*Х₁ + а₂*Х₂ + … а_к*Х_к + е,

где - а₀, а₁, … -коэффициенты регрессии являются линейными и соединены аддитивно (сложением),

- Х₁, Х₂, … -переменные находятся в первой степени.

14.2Линейная относительно коэффициентов, переменных аддитивная модель

Приводим классификацию эконометрических моделей относительно коэффициентов, переменных и остатков.

Модель считается линейной по коэффициентам и переменным с аддитивными остатками и коэффициентами, если выполняются следующие условия:

- коэффициенты имеют первую степень;

- переменные имеют первую степень;

- коэффициенты связаны аддитивно;

- остатки включены в модель аддитивно.

Пример линейной модели по коэффициентам, переменным и аддитивным остаткам:

У_i = а₀ + а₁*Х_i + е_i – линейная однофакторная модель.

У_i= a₀ + a₁*Х_1i + a₂*Х_2i + a₃*Х_3i + e_i- многофакторная линейная модель,

где Х₁, Х₂, Х₃- факторы, независимые переменные, оказывающие влияние на У.

14.3Классификация нелинейных моделей

Все нелинейные модели можно разделить на три вида: степенные, показательные и экспоненциальные.

Числа в степени, например, а₀^а1 имеют следующие названия а₀- основание степени, а₁ – показатель степени.

В зависимости от того где находится фактор Х в основании степени или является показателем степени, различают соответственно степенные и показательные виды нелинейных моделей:

- если фактор Х является основанием степени, то такие модели называются степенными, например:

У_i = a₀*X_i^a1*e_i – степенная модель

- если фактор Х является показателем степени, то такие модели называются показательными, например:

У_i = a₀*a₁^xi*e_i – показательная модель

- если в основании степени стоит е – основание натурального логарифма, то такие модели называются экспоненциальными, например:

У_i =а₀e^a1*Хi *е_i – экспоненциальная модель, которая является разновидностью показательной модели, так как Х является показателем степени.

14.4Нелинейные модели, которые являются внутренне линейными

Нелинейные модели называются внутренне линейными, если после преобразований они могут быть к линейному виду.

Приводим нелинейные модели, которые являются внутренне линейными.

Модель считается нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и мультипликативным остаткам, если выполняются следующие условия:

- коэффициенты имеют первую степень, но некоторые входят в состав степени;

- переменные имеют степень, отличную от 1;

- коэффициенты связаны мультипликативно;

- остатки включены в модель мультипликативно.

Пример модели нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и мультипликативным остаткам:

У_i = a₀*X_i^a1*e_i – степенная модель

Модель считается нелинейной по коэффициентам, линейной по переменным и мультипликативным остаткам, если выполняются следующие условия:

- коэффициенты имеют степень, отличную от 1;

- переменные имеют первую степень;

- коэффициенты связаны мультипликативно;

- остатки включены в модель мультипликативно.

Пример модели нелинейной по коэффициентам, линейной по переменным и мультипликативным остаткам:

У_i = a₀*a₁^xi*e_i – показательная модель

У = 1/(а₀+а₁X + e) – модифицированная гипербола.

Модель считается нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и мультипликативным остаткам, если выполняются следующие условия:

- коэффициенты имеют первую степень и входят в состав степени;

- переменные имеют первую степень, но входят в состав степени;

- коэффициенты связаны аддитивно, но входят в состав степени;

- остатки включены в модель мультипликативно.

Пример модели нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и мультипликативным остаткам:

У_i = e ^a0+a1*Хi *е_i – экспоненциальная модель.

Следующие виды нелинейных моделей:

У_i = a₀*X_i^a1*e_i – степенная модель

У_i = a₀*a₁^Хi*e_i – показательная модель

У_i = e ^a0+a1*Хi *е_i – экспоненциальная модель

являются внутренне линейными, так как после преобразований могут быть приведены к линейному виду.

Например, степенную модель, отражающую зависимость спроса от цены:

У_i = a₀*X_i^a1*e_i

можно считать внутренне линейной, так как после логарифмирования получим линейную модель:

lnУ_i = ln(a₀)+a₁*ln(X_i)+ln(e_i).

Коэффициенты линейных моделей можно рассчитать с помощью Метода Наименьших Квадратов (МНК).

Нелинейные модели, которые являются внутренне нелинейными

Нелинейные модели являются внутренне нелинейными, если их нельзя привести к линейному виду.

Внутренне нелинейными являются модели вида:

У_i = a₀*X_i^a1 + e_i

Коэффициенты нелинейных моделей, которые являются внутренне нелинейными (вообще любых моделей), рассчитываются с помощью интерактивных методов, например, с помощью программы Ехсе1 «Поиск решения»: необходимо найти такие коэффициенты, при которых сумма квадратов остатков (целевая функция) будет минимальной.

1. Линейная	y=a+bx
2. Парабола	y=a+bx+cx2
3. Экспоненциальная	y=aeвx
4. Логарифмическая	y=a+b·ln(x)
5. Степенная функция	y=а·xb
6. Гипербола	y=a+b/x
7. Показательная	у= авх
8. Логистическая	y=а/(в+сх)