8.2. Анализ третьей и четвертой предпосылок мнк

Представим уравнение модели в матричном виде:

У = ХА + е.

Первый вариант:

М(ее') = ϭ²Ω

ϭ² – константа - дисперсия остатков, которая является неизвестной,

Ω - матрица, показывающая структуру М(ее'), которая считается известной.

Второй вариант:

М(ее') = V

V – матрица, элементы которой считаются известными на основании многократных определения остатков модели на различных выборках равного объема.

Первое условие: если матрица V является диагональной, это означает наличие или отсутствие гетероскедастичности остатков, автокорреляция остатков равна нулю.

Второе условие: если матрица V имеет одинаковые диагональные элементы или гетероскедастичность отсутствует, не диагональные элементы расположены так, что определитель матрицы не равен нулю или имеется автокорреляция остатков.

Диагональная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие не на главной диагонали, равны нулю.

8.3. Использование омнк при гетероскедастичных остатках

Рассмотрим более подробно первое условие - если матрица V является диагональной, это означает наличие или отсутствие гетероскедастичности остатков, автокорреляция остатков равна нулю.

В скалярном выражении преобразованная модель будет иметь следующий вид:

У_i/|е_i| = а₀X_0i/|е_i| + а₁Х_i/|е_i| +е_i/|е_i|.

В новой модели остатки будут принимать значения 1 или -1, т.е. будут гомоскедастичными, коэффициенты новой модели можно рассчитать МНК, остатки будут удовлетворять предпосылкам МНК.

Коэффициенты, вычисленные по новой модели МНК являются оценками, вычисленные ОМНК.

Если в исходной модели использовать коэффициенты, вычисленные ОМНК, то расчетные значения уравнения пройдут ближе к тем значениям, остатки которых будут наименьшими.

Второй вид преобразований.

Если дисперсии остатков пропорциональны квадрату значений Х:

ϭ_i² = Х_i² ϭ² ,

то преобразованная модель будет иметь вид: У_i/Х_i = а₀Х_0i/ Х_i + а₁Х_i/Х_i +е_i/Х_i,

в которой при определенных условиях новым переменным можно дать экономическую интерпретацию.

Например, У – издержки производства, Х – объем продукции, то новая переменная: У/Х – означает затраты на единицу продукции.

В новой модели с новыми переменными остатки будут обладать свойствами гомоскедастичности.

8.4. Использование омнк при наличии автокорреляции остатков

Если остатки являются гомоскедастичными, но имеется автокорреляция остатков, то матрица V имеет одинаковые диагональные элементы, не диагональные элементы не равны нулю, но имеют такие значения, при которых определитель матрицы не равен нулю.

В эконометрической литературе имеются хорошо отработанные методы построения модели автокорреляции остатков первого порядка.

Представим уравнение модели в матричном виде:

У = ХА + е,

e_t = ρe_t-1 + v_t.

Если возмущения появляются в результате использования автокорреляционной схемы первого порядка e_t = ρe_t-1 + v_t , при отсутствии гетероскедастичности, то

М(ее') = V = ϭ²Ω,

1	P	P2	…	Pn-1
P	1	p	…	Pn-2
…	…	…	…
Pn-1	Pn-2	Pn-3	…	1

Обоснование структуры Ω см. Джонстон, 1980, стр. 242-244.

Матрица Ω является симметрической и положительно определенной, от которой можно получить обратную матрицу.

Для того, чтобы оценки параметров модели, при наличии нарушений предпосылки 4, были несмещенными, состоятельными и эффективными, можно использовать формулу обобщенного метода наименьших квадратов (метод Эйткена):

где В – вектор столбец коэффициентов модели, вычисленный по методу Эйткена;

Х – матрица значений факторов,

У – вектор столбец зависимой переменной,

Ω – матрица симметрическая, положительно определенная,

Ω ^-1 – обратная матрица от Ω.

Использование коэффициентов, определенных ОМНК в модели

У = ХА + е,

e_t = ρe_t-1 + v_t.

позволяет улучшить аппроксимацию исходных данных.

Однако для проведения расчетов необходимо знать оценку коэффициента автокорреляции остатков первого порядка ρ.

В эконометрической литературе имеется несколько методов определения коэффициента автокорреляции остатков первого порядка, которые дают примерно одинаковые результаты.

Предлагаем самый простой метод определения коэффициента автокорреляции первого порядка, называемый методом наименьших квадратов, который выполняется в следующей последовательности:

Шаг 1. Вычисляются коэффициенты линейной модели с помощью функции ЛИНЕЙН.

Шаг 2. Вычисляются остатки модели е = У- (а₀+а₁*Х)

Шаг 3. Вычисляется коэффициент автокорреляции первого порядка r₁ для остатков модели с помощью функции КОРРЕЛ,

где первым массивом являются значения остатков е_t,

вторым массивом являются остатки модели, сдвинутые на одну дату времени е_t-1.

Шаг 4. r₁ является оценкой ρ.