Властивості

1. Якщо усі w_i рівні між собою, то (1) матиме вигляд , u_min  u  u_max.

2. Сума усіх нормованих В-сплайнів N_{i, k}(u) для будь якого u NURBS кривої у відповідності із властивостями В-сплайнів загального вигляду . Саме для цієї властивості нормуються розділені різниці у визначені нормованого В-сплайна. Функції N_{i, k}(u) і N_{k, i}(u) являють собою розклади одиниці.

3. Обчислення нормованих В-сплайнів здійснюється через ненормовані В-сплайни, які є звичайними розділеними різницями.

4. Площа під будь яким не нормованим В –сплайном задовольняє рівняння

5. Для побудови сукупності із n В- сплайнів k-го порядку необхідно m+k вузлів у випадку не замкнутої кривої та n+2k вузлів –замкнутої.

6. В-сплайни є не відємними функціями.

7. Якщо w_i = c для будь-якого i, де c не нульова константа, то  R_i,p(u)=N_i,p(u) 

Контрольні точки

Рис. 1. Множина контрольних точок, що визначають параметричну криву

Ця особливість NURBS-кривої важлива, оскільки дозволяє локалізувати зміну форми кривої переміщенням окремих контрольних точок без зміни форми всієї кривої в цілому (рис. 2).

Рис. 2. Зміна форми фрагмента кривої, викликане переміщенням контрольної точки

Кожна контрольна точка визначає форму тільки тієї частини кривої, яка знаходиться в її околиці, і чинить менший вплив або зовсім не впливає на форму частини кривої, що залишилася.

Приклад - метафора

У кожен даний момент положення рухомої частки визначається як вагове усереднення положення всіх контрольних точок. При цьому контрольні точки, розташовані ближче до частинки, роблять більший вплив (як, наприклад, велика маса небесного тіла притягує сильніше, оскільки сила гравітації у такого тіла більше) при визначенні її підсумкового положення в просторі. Іншими словами, для визначення положення рухомої частки необхідно підсумувати положення всіх контрольних вершин (точок) з урахуванням мінливої ​​"значимості" (гравітації).

Якщо приклад з гравітацією не дуже ясний, можна запропонувати іншу метафору. Вибір і покупка, скажімо, холодильника визначаються багатьма факторами (ціною, обсягом, кольором і т. п.). Але ці фактори не рівнозначні, кожен фактор має свою значимість, наприклад ціна важливіше кольору, це означає, що у ціни більший " вага " у порівнянні з кольором. Якщо підсумувати " ваги " всіх факторів, то можна формально "вирахувати ", який холодильник розумніше придбати.

Базові функції

Функція, яка визначає, як сильно форма кривої залежить від конкретної контрольної точки В_i, називається базовою функцією (basis function) цієї контрольної точки.

Значення базової функції являє собою дійсне число. Необхідно врахувати, що опис NURBS-кривої вимагає завдання базової функції для кожної контрольної точки.

Приклад - метафора

Можна описати значення функції для вибраного значення параметра t, наприклад, таким чином: 30 % положення однієї контрольної точки плюс 60 % - інший і плюс 10 % - третьої. Це, зокрема, означає, що коли рухома частинка віддаляється від деякої контрольної точки, вона відчуває все менший вплив. І навпаки, при наближенні частки до контрольної точці її положення все більше від неї залежить. І такий ефект повторюється щоразу, коли рухома частинка проходить всі контрольні точки.

Тепер слід зосередитися саме на тому, що подібне "вплив" контрольної точки може бути не тільки виражено числовими значеннями, а й візуалізовано на графіку. Таким чином, можна побудувати графік базової функції як залежність впливу на рухому частку, наприклад у відсотках, від значення 1 (рис. 3).

Максимальний ефект (максимальний вплив) досягається в абсолютно певній точці і поступово зменшується у міру видалення. Форма кривої, яка описує цю залежність, нагадує дзвін.

Рис. 3. Типовий графік базової функції окремої контрольної точки

Оскільки кожна контрольна точка "зобов'язана" мати свою базову функцію, NURBS-крива, побудована, наприклад, по п'яти контрольних точках, повинна мати п'ять таких функцій, що перекривають деяку область результуючої кривої (рис. 4).

Рис. 4. Однорідні базові функції для множини контрольних точок