Алгоритм де Бура

Припустимо, ми хочемо оцінити криву сплайна. При значенні параметра . Ми можемо висловити криву як

де

і

Завдяки властивостям,

Таким чином, значення s(x) визначається в контрольних точках d_l-n, d_l-n+1, …, d_l; інші контрольні точки d_i не мають ніякого впливу. Алгоритм де Бура, є процедурою, яка ефективно обчислює вираз для s(x).

Припустимо, і д ля . Тепер обчислимо

з

Тоді .

Приклади та доповнення

Приклад №1:

Подання чверті кола у вигляді раціонального полінома Розглянемо чверть кола, яка описується в термінах тригонометричних функцій

Покладаючи t = tan(/2) і використовуючи основні тотожності з тригонометрії, ми можемо виразити х і у як функції t:

Для перетворення рівняння до представлення Безьє, застосуємо

окремо чисельник і знаменник для того щоб отримати форму Безьє.

Приклад №2

Для не замкненої NURBS кривої введемо наступні значення.

Нехай перші m вузлів рівні нулю: t₁=t₂=…t_m=0; наступні n-m вузлів набувають цілочисельних значень від 1 до n-m: t_m+i = i, I = 1, 2, …, n-m; m вузлів, що залишились, набувають значень n-m+1: t_n+1 = t_n+2 =…= t_n+m =n-m+1. Оскільки параметр t NURBS змінюється у межах t_m  t  t_n+m, то для не замкнутої кривої це буде 0  t  n-m+1. На рис 19. показано повний набір В- сплайнів 4-го порядку(кубічних) для дев’яти вершин, побудованих на розширеній множині вузлів 0, 0, 0,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6 для 0  t  6.

Рис. 19. Повний набір В- сплайнів 4-го порядку(кубічних) для дев’яти вершин

Приклад №3

Для замкненої NURBS кривої використовуємо рівновіддалені значення вузлів (рівномірна параметризація): t_i = i-m, i = 1, 2, …, n+2m. Оскільки параметр t NURBS змінюється у межах t_m  t  t_n+m, то для замкнутої кривої це буде 0  t  n. На рис. 20 показано повний набір В- сплайнів 4-го порядку для 6 вершин, побудованих на розширеній множині вузлів -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, де 0  t  6.

Рис.20. Повний набір В-сплайнів 4-го порядку для 6 вершин

На рис. 21 на множині одних і тих же восьми вершинам побудовані NURBS 2-го, 4-го, 6-го і 8-го порядку. Чим вище порядок кривої, тим гладкіша вона.

Рис. 21.

На рисунку 22 показано вплив ваги вершини p₅ на форму кривої 6-го порядку. Чим більша вага вершини, тим ближче до неї проходить NURBS.

Рис. 22.

Приклад №4. NURBS представлення ламаної.

Якщо побудувати NURBS (7) по n вершинам на послідовності вузлів: t₁=t₂=0, t₃= 1, t₄ = 2, …, t_i = i-2, …t_n= n-2, t_n+1= t_n+2 = n-1 на базі В-сплайнів другого порядку N_i,2(t), то вона співпадає з ламаною (рис. 23). Область зміни параметра t: 0  t  n-1.

Рис. 23. Ламана.

В- сплайни 2-го порядку N_{i, 2}(t) визначаються рівнянням

N_i,2(t) у цьому випадку являють собою кусково-лінійні функції: N_i,2(t_i+1)=1, N_j,2(t_i+1)=0, j  i. В-сплайни для 6 вершин показані на рис 24.

Рис. 24.

Замкнену ламану як частинний випадок NURBS можна побудувати на послідовності вузлів: t₁=-1, t₂=0, t₃= 1, …., t_i = i-2, … t_n= n-2, t_n+1= n-1, t_n+2 = n, де t: 0  t  n.