Крива Безьє

У загальному випадку крива Безьє - це окремий випадок В-сплайнів (NURBS-кривих), які можна визначити як зважена сума n + 1 контрольних точок, де ваговими коефіцієнтами є поліноми Бернштейна. Розглянемо визначення перших трьох ступенів кривої Безьє.

Лінійна крива, крива першого ступеня (пряма), визначається наступною параметричної формулою:

Це вираз являє собою лінійну інтерполяцію між двома точками (рис. 11).

Рис. 11. Крива першої степені (пряма)

Квадратична крива, крива другого ступеня, визначається формулою:

Це вираз являє собою лінійну інтерполяцію між лінійними інтерполяціями між точками (рис. 12):

Рис. 12. Крива другого ступеня (квадратична крива)

Кубічна крива, крива третього ступеня, визначається формулою:

Це вираз являє собою лінійну інтерполяцію між лінійними інтерполяціями між лінійними інтерполяціями між точками (рис. 13).

Рис. 13. Крива третього ступеня (кубічна крива)

Властивості кривих Безьє

Криві Безьє будь-якого ступеня володіють наступними важливими властивостями.

• Початкова і кінцева контрольні точки лежать на кривій.

• Крива на всьому протязі неперервна, у неї відсутні розриви. Це найважливіша властивість, без якого крива Безьє взагалі б не розглядалася.

• Дотичні до кривої в початковій і кінцевій контрольних точках є відрізками, що з'єднують їх з іншими двома сусідніми контрольними точками, через які в загальному випадку крива не проходить.

• Точки на краях дотичних будуть розташовуватися на кривій тільки в тому випадку, якщо остання являє собою пряму лінію.

• Оскільки крива Безьє являє собою зважене усереднення всіх її контрольних точок з позитивними вагами, а сума їх дорівнює одиниці, крива завжди розташовується всередині опуклого багатокутника з її контрольних точок (рис. 14), як і розглянута вище NURBS - крива.

• Криву Безьє можна розглядати як покрокове уточнення форми багатокутника, одержуваного послідовним з'єднанням її контрольних точок (рис. 15-18). При цьому крива Безьє починається і закінчується в кінцевих точках даного багатокутника, а форма визначається відносним розташуванням залишилися точок, через які в загальному випадку вона не проходить.

Рис. 14. Крива у випуклому многокутнику

Виходячи з цього можна уявити канонічний вигляд кривої Безьє, який зазвичай використовується в графічних редакторах плоскою графіки.

Рис. 15. Перший етап апроксимації кривої

Рис. 16. Другий етап апроксимації кривої Рис. 17. Третій етап апроксимації кривої

Рис. 18. Підсумкова ламана крива

Обчислення радіус-вектору.

Для обчислення радіус-вектору NURBS кривої використовується наступна схема. По значенню параметра t із умов t_i  t  t_i+1 визначається номер i відмінного від нуля В-сплайна першого порядку і обчислюється його значення, виходячи з означення

(2)

Потім використовується рекурентрне співвідношення Кокса-Де Бура

(3)

Послідовно обчислюються усі відмінні від нуля при даному параметрі t В-сплайни до m-го порядку включно M_{i-m+1, m}(t), M_{i-m+2, m}(t), …, M_{i, m}(t)

(4)

Ця трикутна таблиця обчислюється по-рядково, оскільки із (2) відомий елемент першого рядка, а кожний елемент наступного рядка можна побудувати по двом сусіднім елементам в попередньому рядку за допомогою (3). При обчислені крайніх крайніх елементів кожного рядка використовується той факт, що один із елементів у попередньому рядку рівний нулю. Потім В-сплайни m-го порядку нормуються

(5)

і підставляються у формулу (1), яка прийме вигляд

(6)