4.3 Числові характеристики випадкових процесів

Функції розподілу ймовірностей дають повне уявлення про випадковий процес. Уявлення про випадковий процес можна також отримати за його числовими характеристиками.

Найважливішою числовою характеристикою випадкової величини є середнє значення або математичне очікування, що визначається наступним чином:

(4.12)

Якщо випадкова величина неперервна, то її середнє значення знаходиться на основі функцій розподілу ймовірностей з виразу

. (4.13)

Математичне очікування показує той середній рівень випадкової величини, відносно якого можуть коливатися її можливі значення.

Позначимо через  відхилення випадкової величини від її середнього рівня . Тоді, очевидно, середнє значення відхилення .

З цього слідує, що середнє значення відхилення не може служити числовою характеристикою випадкової величини.

Для оцінки степеню відхилення випадкової величини від його середнього значення застосовується дисперсія

.

Дисперсія являє собою середнє значення квадрату відхилення випадкової величини

. (4.14)

В окремому випадку, коли середнє значення , дисперсія дорівнює середньому значенню квадрату випадкової величини

.

Таким чином, для обчислення дисперсії необхідно знати середнє значення випадкової величини і середнє значення квадрату цієї величини .

Для неперервних величин середнє значення квадрату може бути знайдено з виразу

(4.15)

Наступною числовою характеристикою випадкового процесу є середньоквадратичне відхилення , що дорівнює квадратному кореню із дисперсії

(4.16)

Середньоквадратичне відхилення має розмірність випадкової величини.

4.4 Загальні відомості про кореляційний аналіз випадкових процесів

Стаціонарні випадкові процеси володіють іншою дуже важливою властивістю, яка полягає в тому, що значення процесу в одні моменти часу якимось чином впливають на значення процесу в інші моменти часу. Наявність такого взаємозв’язку дозволяє за результатами спостереження процесу в минулому зробити імовірнісні передбачення про його протікання в майбутньому.

Степінь ймовірного взаємозв’язку між значеннями процесу в сосідні моменти часу і його характер встановлюється з допомогою авто кореляційної функції R_х (), яка виражається як середнє за часом значення добутку . Ця величина залежить тільки від часового зсуву  і не залежить від часу

(4.17)

Функція автокорекції є неперервною парною функцією, тобто . ЇЇ максимальне значення відповідає . Типовий графік функції автокореляції випадкового процесу, що не містить аперіодичної складової, показаний на рис. 4.7.

Рисунок 4.7 - Графік функції автокореляції

Якщо випадкова функція є струмом, що протікає по чисто активному опору, то значення пропорційне до всієї середньої потужності процесу, - потужності постійної складової і різниця - потужності змінної складової, що змінюється випадковим чином.

Форма графіку дозволяє судити про степінь статистичного зв’язку між суміжними за часом значеннями досліджуваної функції . Якщо взаємозв’язок розповсюджується на значні інтервали часу, то крива спадає повільно (крива 2 на рис. 4.7).

Функція автокореляції застосовується і для дослідження періодичних процесів.

Нехай . Знаходимо

Звідси випливає, що графік функції для періодичного процесу являє собою косинусоїдальну криву.

Для аналізу випадкових процесів крім автокореляційних функцій широко застосовуються взаємокореляційні функції .

Функція взаємної кореляції двох різних випадкових стаціонарних процесів і визначається виразом

. (4.19)

Він характеризує статистичний зв’язок між двома процесами. Якщо процеси незалежні (некогерентні), то функція являє собою постійну величину, що дорівнює добутку середніх значень відповідних функцій.