31. Інтегральна форма рівнянь Беллмана
Розглянемо задачу про мінімізацію функціонала
(7.1)
за умов
, , , (7.2)
, , (7.3)
, . (7.4)
Вважаємо, що функції
,
– неперервні, вектор-функція
– неперервна за сукупністю змінних і
задовольняє умову Ліпшиця за змінною
,
функція
– кусково-неперервна. Зафіксуємо
і
.
Розглянемо задачу (7.1)-(7.4), якщо в ній
замість
і
підставимо
і
.
Позначимо цю задачу
.
Розв’язок цієї задачі позначимо
,
,
.
Мінімум відповідного функціонала
позначимо
,
тобто
. (7.5)
На проміжку
виберемо довільну точку
,
а з множини
деяку точку
і розглянемо задачу
,
яка відрізняється від задачі
лише початковими умовами –
та
.
Мінімум відповідного функціонала
позначимо
,
тобто
. (7.6)
де
,
розв’язок задачі
на проміжку
.
Далі за
виберемо не довільне значення, а той
стан системи (7.2), в який вона попаде з
точки
,
рухаючись по оптимальній траєкторії
задачі
в момент
,
тобто
=
.
За принципом оптимальності Беллмана
розв’язок задачі
за цих умов збіжиться з розв’язком
задачі
на проміжку
.
Тому маємо
. (7.7)
Рівність (7.5) тепер подамо у вигляді
.
(7.8)
Отже,
.
Або
. (7.9)
Рівність (7.9) виконується лише на оптимальному керуванні. Тому на будь-якому іншому керуванні права частина може тільки збільшитися. Одержуємо
.
(7.10)
Це і є рівняння Беллмана в інтегральній формі.
32. Інтегральна форма рівнянь Беллмана
Розглянемо задачу про мінімізацію функціонала
(7.1)
за умов
, , , (7.2)
, , (7.3)
, . (7.4)
Вважаємо, що функції , – неперервні, вектор-функція – неперервна за сукупністю змінних і задовольняє умову Ліпшиця за змінною , функція – кусково-неперервна. Зафіксуємо і . Розглянемо задачу (7.1)-(7.4), якщо в ній замість і підставимо і . Позначимо цю задачу . Розв’язок цієї задачі позначимо , , .
.
Це і є рівняння Беллмана в інтегральній формі.
Одержимо диференціальну форму рівняння
Беллмана. Тепер вважатимемо, що
– неперервні за сукупністю змінних
,
– неперервна по
,
функція
– має неперервні частинні похідні
,
.
За цими припущеннями (7.10) можна записати
у вигляді
. (7.11)
Нехай множини
неперервні по
в розумінні відстані Хаусдорфа, тобто
.
Тоді поділивши ліву і праву частини
(7.11) на
і перейшовши до границі при
одержимо
}
(7.12)
. (7.13)
33. Оптимальний регулятор на основі принципу оптимальності Беллмана
Розглянемо систему керування
(8.1)
, (8.2)
на траєкторіях якої потрібно знайти мінімум функції
(8.3)
за параметром .
Побудуємо рівняння Беллмана в диференціальній формі
, (8.4)
. (8.5)
Розв’язок (8.4), (8.5) шукатимемо у вигляді
. (8.6)
Тоді
.
.
Рівняння для матриці
набуває вигляду
, (8.7)
.
34. Алгоритм побудови адаптивного регулятора для систем керування з неперервним алгоритмом.
Якщо
використовується адаптивний регулятор,
то значення стану об’єкта x(t)
вимірюються в певні моменти часу t:
. Позначимо одержані значення так:
.
Припустимо,
що стан об’єкта при
можна визначити за формулою
(1.1),
де
n,
m
– параметри адаптивного регулятора;
- керування, які подаються на вхід об’єкта
при таких значеннях параметра
;
,
- невідомі коефіцієнти, які потрібно
знати.
Для
забезпечення функціонування системи
керування з адаптивним регулятором
необхідно задати значення станів об’єкта
та параметрів керування
,
а також коефіцієнти
,
,
які пропонується вибирати довільно на
нульовій ітерації, але так, щоб
.
На подальших ітераціях робота адаптивного регулятора складається з двох фаз:
фаза самоналагоджування. На кожній ітерації з номером для обчислення нових значень коефіцієнтів , розв’язується задача знаходження мінімуму функції
,
де r
- параметр налагодження адаптивного
регулятора;
-
фаза обчислення керування. Для цього в
(1.1) замість
потрібно підставити значення
і розрахувати
:
.
Зауваження. Якщо для мінімізації функції J використати градієнтну процедуру, то обчислення нових значень коефіцієнтів здійснюється за такими рекурентними формулами:
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
;
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.