20. Рівняння спостерігачів для систем з неперервним аргументом.

Позначимо

Для матриці R і вектора z знайдемо рівняння, яким ця матриця і вектор задовольняють,

Вважаючи (1.1) одержимо:

(1.3) матричне диференціальне рівняння, яке називається матричним диференціальним рівнянням Ріккаті.

_{Зробимо заміну}

_{z(t1) = 0 (1.6)}

Рівняння (1.3) і (1.5) – фільтри спостерігачі.

x_{0 =} (k(t₁, t₀))^-1z(t₀)

21. Спостережуваність систем з дискретним аргументом. Теорема про необхідні і достатні умови.

Нехай система описується рекурентним співвідношенням: x(k+1)=A(k)x(k), k=0,1,…N-1 (1.1)

Для неї спостерігається вектор y(s) = G(s)x(s), s=0,1,..N (1.2).

x(k) – n-вимірний вектор x(k) є Rⁿ, k=0,1,…N-1

y(s) – m-вимірний вектор y(s) є Rⁿ s=0,1,..N

A(k) – n*n матриця; G(s) – n*m матриця.

y(0, y(1), …, y(N) , x(0)=x₀

Озн. Система (1.1) цілком спостережувана, якщо за значеннями y(0, y(1), …, y(N) однозначно можна знайти x₀.

x(k)=A(k-1)A(k-2)…A(1)A(0)x₀ (1.3) k=0,1,…N

Позначемо

X(k,j)= A(k-1)A(k-2)…A(j-1)A(1) (1.4)

(1.5)

(1.6)

Т-ма. (Необхідні і достатні умови цілком спостережуваності (1.1) за умов (1.2))

Для того, щоб система (1.1) за умов (1.2) була цілком спостережуваною необхідно і досить, щоб detW(N)≠0 (1.7)

Необхідність:

Нехай (1.1) за умов (1.2) цілком спостережна, але не справджується умова (1.7), тобто detW(N)=0 (1.8). Ця умова означає, що detW(N)=0 (1.9) відносно компонент вектора z має ненульовий розв’язок, тобто - розв’язок рівняння (1.9). Розглянемо

Звідси випливає . k=0,1,…N

(1.10)

Нехай x₀=z. Одержимо, що y(k)=0, k=0,1,…N

Нехай x₀=0 =>y(k)=0. k=0,1,…N y(0)=0, y(1)=0, y(N) =0 => за значеннями y(i) неможливо однозначно відновити початковий стан системи (1.1), а це суперечить спостережуваності (1.1) за умов (1.2). суперечність. Необхідність доведена.

Достатність

Припустимо, що для довільного n-вимірного вектора C, ми можемо знайти вектори v_c(k), k=0,1,…N розміру m, що справджується рівність

. (1.11)

Підставляючи (1.10) у (1.11) ми одержимо (1.12)

w(k,0) – n*m матриці

Розглянемо таку систему керування

(1.13)

, (1.14)

Легко переконатись, що (1.7) – умова керованості системи (1.13) v_c(k) = , l- невідомий n-вимірний вектор

Розв’язок (1.13) можна записати так , (1.15)

Піставимо v_c в останню формулу;

(1.16)

У (1.16) виберемo k=0 і виберемо .

(1.17) (1.18)

(1.19)

Підставимо v_c (k) в (1.11)

(1.20)

За вхідними даними однозначно визначається .

22. Рівняння спостерігачів для систем з дискретним аргументом.

- рівняння спостерігача.

23. Постановка задач оптимального керування

Розглянемо (1.1) (1.2)

– скалярна функція від n+m-однієї змінної. Знайти

Задача Больца

Нехай критерій якості функціонування сист. (1.1) має вигляд

(1.5)

(1.6) (1.7)

Знайти min функціонала (1.5) за умов (1.1), (1.2), (1.6)

Задача Мейєра

Нехай критерій якості системи має такий вигляд (1.8). потрібно мінімізувати ф-цію (1.8) за параметром u .

на траєкторіях системи (1.1) за таких умов (1.2), (1.6), (1.7)

Сформульована задача назив.задачею Мейєра.

Якщо цільова функція (1.8) , то ми одержуємо задачу про швидкодію, тобто забезпечення перенесення точки знаходження в положення x₁ за min час. ТОбто знайти таку функцію u(t), t є [t₀,t₁], щоб під дією цього керування сист (1.1) змінила базовий стан з х₀ у х₁

24. Диференціювання функціоналів на траєкторіях систем керування Теорема (Ейлера). Необхідні умови екстремуму функціонала

(2.1)

на множині неперервно диференційованих функцій з фіксованими значеннями , за умови подвійної диференційованості за всіма своїми аргументами функції мають вигляд

(2.2)

або

– векторна форма (2.2).

Отже функція може бути екстремаллю, якщо вона задовольняє (2.2).

Нехай потрібно мінімізувати функціонал

(2.3)

На траєкторіях системи

(2.4)

. (2.5)

Розв’язок цієї задачі можемо знайти двома способами, а саме:

1). Розв’язати систему рівнянь (2.2), в якій вважати .

2). Розробити ітераційну процедуру знаходження похідної функціонала (2.3).

В останньому випадку потрібно вміти обчислювати градієнт функціонала по вектору . Припустимо, що приріст функціонала можна подати у вигляді

. (2.6)

Тоді функція називається градієнтом функціонала і позначається .

Виявляється, що знайти градієнт функціонала можна використати такий алгоритм. Введемо функцію Гамільтона

, (2.7)

де вектор-функція розв’язок наступної системи диференціальних рівнянь

, (2.8)

за початкових умов

. (2.9)

Теорема. .

Доведення. Нехай траєкторія системи (2.4), яка починається в точці (2.5) і відповідає керуванню , а – траєкторія цієї ж системи, яка відповідає керуванню . Розглянемо скалярний добуток , вважаючи, що розв’язок (2.8) за початкових умов (2.9), а – функція Гамільтона (2.7). Маємо

.

Отже,

,

оскільки

.