12. Лема про інваріантний підпростір лінійної стаціонарної системи .

Розглянемо стаціонарну систему

(6.1)

і припустимо, що для неї не викон.умова цілком керованості і rank S_n = r < n (6.2) K₁, K_{2 ,}...,K_r – лін.незал. стовпчики матр. S_n, тоді виконується лема :

Лема: Якщо для сист. (6.1) викон. умова (6.2) то підпростір K_r = {k₁,…,k_r} (6.3) є інваріантним підпростором для сист. (6.1). Тобто це означає, що якщо x₀ є K_r, то р – ок (6.1) який задов. початк. ум. X(t₀) = x₀ (6.4) також належить x(t)K_r t, t ≥ t₀

Дов-ня:

Запишемо р-ок (6.1), який задов. умову (6.4). Цей р-ок має вигляд: x(t) = e^A(t-t0)x₀ +

Використаємо подання e^At як:

(6.5)

Врахуємо, що x₀ = (6.6)

. На основі леми про ранг керованості матриці ми можемо стверджувати, що цей вектор можна подати, як K_r {k₁…k_r}.

= (6.7)

Розглянемо = (6.8)

За лемою (1) кожний стовпчик

ми можемо подати, як мін. комб. вектора (k_1, k_{2, …,} k_r)

k_p (6.9)

x(t) = = =

=

Якщо позначити [] через λ_Р(t), то: x(t) = (6.10)

(7.1)

S_n = (B, AB,…A^n-1B) rank S_n = r < n (7.2)

15. Теорема про структуру лін. Стаціонарної системи.

(1) S_n=(B,AB,A²B,..,A^n-1B) rankS_n= r < n (2) k₁,..,k_r

Теорема: Якщо rankS_n= r < n , тобто справджується умова (2), то систему (1) за допомогою лінійного перетворення X(t)=T(y) (3) можна звести до системи (4). При чому Т матриця має вигляд: Т=(k₁,k₂,..,k_r,l₁,..,l_n-r) (5) де першими r стовпчиками є лінійно-незалежні стовпчики S_n, а решта n-r стовпців вибирають щоб виконувалася умова det T 0 (6).

Матриця (7). (8).

У співвідношеннях (7) і (8) P₁-матриця розміру - rxr; P₂ – rx(n-r); P₃ – (n-r)x(n-r) Q₁ – rxm. Крім цього rank (Q₁,P₁,Q₁,..,P₁^r-1Q₁)=r (9)

Доведення: Очевидно, що P=T^-1AT; Q=T^-1B. Покажемо, що лінійний підпростір породжений векторами K=(k₁,k₂,..,k_r) збігається з гіперплощиною y_r+1=0, y_r+2=0,..,y_n=0. (10). Запишемо перетворення

Наша гіперплощина (10) збігається з лінійним півпростором K, тоді система (4) має бути такою як описана в теоремі. Тобто, якщо ми виберемо початкову

умову з гіперплощини (10), то ми там же і залишимося на

цій гіперплощині. Якщо ми виберемо вектор то розв’язок системи (4) початковою умовою (11) має бути: yr+1|t|=0,..,yn|t|=0 для будь-якого t, t t0. Тоді структура матриць повинна бути, як описано в (7) і (8). Вектор y подамо у вигляді	(11),
Y = =	P і Q мають структуру (7) і (8) тоді рівняння (4) можна записати так:

P₁y¹(t)+P₂(t)+Q₁u(t), P₃y²(t)+q^t_r+1u – якщо припустити, що матриця Q має іншу структуру. P₁y¹(t)+P₂(t)+Q₁u(t), P₃y²(t) – якщо початкові умови 0, то розв’язком будуть нулі. P₁₁^Ty¹(t)-рядочок, P₁₁^Ty¹(t)=0, P₃y²(t)+ P₁₁^Ty¹(t). Отже наше припущення, що P і Q має не таку структуру приводить до суперечності. Доведемо твердження (9). Введемо в розгляд матрицю S_n¹=T^-1S_n=(T^-1B,T^-1AB,..,T^-1A^n-1B)=(T^-1B,T^-1AT,T^-1B,..,(T^-1AT)ⁿT^-1B)= S_n¹= P²= = Оскільки матриця T^-1 неособлива, тобто detB^-1 0, то rankS_n^-1=rankS_n ( за властивостями матриць) rankS_n¹=rankS_n=r (за умовою) rankS_n¹ на основі леми1 звідси випливає, що rankS_n¹= rankS_r¹ S_r¹ матриця rank якої обчислюється за (9)