11. Теорема про необхідні і достатні умови керовності.

Нех. СК описується такою с-мою ДР. (1): Запишемо таку крайову умову(2) для с-ми (1): x(t₀)=x₀ є X, x(t₁)=x₁ є X, t є [t₀, t₁] Теорема1(Критерій цілком керовності с-ми(1)-(2)): Для того, щоб система (1),(2) була цілком керовною, н. і д., щоб вектор функцій при були лін.незал.

Доведення. 1)Достатність:

Запишемо розв’язок с-ми (1),який задовольняє поч. умову x(t₀)=x₀ : він має такий вигляд: . Для того, щоб с-ма (1) була цілком керовною треба підібрати ф-ію U(t) так, щоб виконувалася рівність: (2.2), або треба, щоб виконувалася така рівність (2.3).Якщо знайдеться хоча б 1 така ф-ія, то їх можна підібрати дуже багато. Покажемо, що якщо вектор ф-ія (1) лін. незал., то можна таку ф-ію побудувати. Шукатимемо ф-ію U₀(t) у такому вигляді: U₀(t)=W^T(t,τ )l (2.4),де l- невідомий сталий вектор. Підставимо (2.4) в (2.3): Wl=C;

Якщо виявиться, що матриця W є неособливою, тобто для неї вик. умова (2.5) detW<>0,то із р-ня ми знайшли б l однозначно: l=W^-1*C(2.6). Покажемо, що за умов т-ми виконується умова (2.5).Виберемо б/я вектор q є Rⁿ ,такий, що ||q||>0 (тобто, що хоча б 1 компонента <>0) [ ||q||²=q^T*q=Σq_i², i=1,n ]. Тоді, за умовою т-ми, для цілого q : ||q^TW(t₁,τ )||²>0, τ є [t₀,t₁] , тоді можемо записати: (2.7)

2)Необх. Тобто,треба показати таку річ: Нехай с-ма (1) цілком керовна,але вектор-рядочки матриці (1.6) лін. залежні. Поки що таке неможливе. Нехай існує вектор l,l<>0 l^TW(t₁,τ )=0 τ є [t₀,t₁], =>,що існує таке керування U(t),що розв’язок (1.1) задовольняє умови (1.2) ¥ x₀,x₁.(при цьому керуванні). Виберемо вектори x₀ і x₁ так,щоб вик. умова: l^T(x₁-X(t,t₀)x₀)<>0 (2.10). Тоді,якою б не була ф-ія U(t) (=>із(2.9)) ,а оск. с-ма цілком керовна,то її розв’язок можна записати у вигляді (2.2) або (2.3), тоді маємо: (2.11).Що суперечить умові цілком керовності. ТД. Наслідок: Покажемо,що ф-ія U₀(t),побудована у процесі доведення т-ми,має таку вл-ть (для цілком керовної с-ми): ¥ іншої ф-ії U(t)<>U₀(t),яка переводить с-му (1.1) із стану x₀ в стан x₁,справджується нерівність: (2.12).Щоб це показати розглянемо таку р-ть: ||U(t)||²-2U₀^T(t)(U(t)-U₀(t))=||U(t)||²+||U(t)-U₀(t)||² , [ де ||U(t)||²=U^T(t)*U(t) ,тобто, ||U(t)||²=U^T(t)*U(t)=ΣU_i²(t), i=1,m ]. Проінтегруємо р-ть (2.13) в межах від t₀ до t₁ і врахуємо,що U(t) – керування,при якому розв’язок переходить із

стану x₀ в x₁:

(це просто міркування) А тепер інтегруємо (звідси→(2.12))

12. Лема про ранг матриці керовності лін. Стаціон. С-ми

Якщо ранг матр. Sn: rank Sn = r≤n, то

1) rank Sr = r (1)

2)б/я стовпчик матр. Sn можна виразити ч/з r лін.незал. стовпців матр. Sr ; або як лін. комбінацію лін.незал. стовпців матр. Sr.

Дов-ня. Розгл. bj, Ab,…, An-1bj (2). Нех. серед цих векторів rj

лін.незал.векторів. Покаж., що цими век-ми є век-ри: bj, Ab,…, Ar-1bj ( (rj-перших век-рів).

Дов-ня від супрот. Нех. це не так, тобто у (2) mj век-рів: mj<rj-лін.незал., а mj+1 лін. вираж-ся ч/з mj-век-рів. І решта rj-mj знах. між mj+1 . bj, Ab,…, Amj-1bj, Amjbj, Amj+1bj,… An-1bj,

це mj лін.незал., тому => Amjbj = (3)

Серед коеф-в -є хоча б 1 відмін. від 0. Домнож. (3)*А зліва

Amj+1 bj = = = = (4)

Домнож. (4)*А (зліва), одерж.:

Amj+2 bj = …………..

An-1 bj =

.Вказані рівності показ., що кожен век-р почин-чи з n+1 є лін. комбін-ю mj перших векторів => mj=rj.

Далі міркуємо так: беремо з сукупності Sn = (B, AB,…An-1B) (n*m-стовпців) почерзі вектори: b1, Ab1,…, An-1b1, де шукаємо ранг, як макс-ну кіль-ть лін.незал. век-рів r1<r;

Далі b2, Ab2,…, An-1b2,, де r1+r2=r , r2<r. І так далі, поки rn=r .

Щоб довести 2) ми зробимо так:

Якщо вектор належ. сукуп-ті лінійнонезал-х векторів, то він вираж-ся сам ч/з себе. Б/я інший вектор належ-ть одній із груп типу (2). Тоді цей вектор можна подати як ліню комб-ю лін.незал. век-рів викор-чи попер. міркування, а це означ. правильність твердження.

13. Критерій керованості лін. стац. системи.

(1) S_n=(B,AB,A²B,..,A^n-1B) (2)

Теорема(про необх. і дост. умови цілком керованості лінійної стаціонарної системи ):

Для того, щоб система (1) була цілком керованою, н. і д., щоб .

Доведення. Достатність. Нехай (3) виконується. Покажемо, що вектор-рядки матриці імпульсної перехідної функції _є лінійно незалежними . . Доведення проведемо від супротивного. Нехай вектор-рядки матриці (4) будуть лінійно залежними, тобто існує n-вимірній сталий вектор l .

, (5)

Останню нерівність продиференціюємо по n-1 раз і розглянемо наступні співвідношення ,

. (6)

X(t, ) = Ф(t₁)Ф^-1( ), , де Ф- фундаментальна матриця розв’язків системи.

(7)

l^TX(t, )B = 0

З (10) вектор-рядки матриці (2) – лінійно-залежні , а це суперечить умові (3). Необхідність: Нехай вектор-рядки матриці (4), лінійно незалежні, тобто система цілком керована. Покажемо, що справджується умова (3). Нехай це не так, тобто

rank S_n <n => на основі Леми1. , , Отже ми одержимо, що система не цілком керована, а це суперечить умові теореми.